Page 256 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2008 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 255

9. Aralarındaki uzaklık 999 km olan A ve B noktaları arasına, bu noktalar
dahil, her 1 km’lik mesafede A’dan ve B’den olan uzaklı˘ gı gösteren tabelalar
konmu¸stur. Böylece, 1000 tabela üzerine a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde sayılar yazılmı¸stır :
0 999 , 1 998 , 2 997 ,···  998 1 , 999 0
Bu tabelaların kaç tanesinde yazılmı¸s sayılarda sadece iki farklı rakam kul­
lanılmı¸stır? (Örne˘ gin, 722 277 tabelasında sadece iki rakam kullanılmı¸stır:
2ve7).
Çözüm :
0 999 , 1 998 , 2 997 ,···  998 1 , 999 0
tabelalalarında, sadece iki rakam kullanılanların sayısını bulaca˘ gız.
Tabelada A’dan uzaklı˘ gı belirten bölme,    biçiminde ise, yani iki rakam­
dan olu¸smu¸s ise, tüm tabelada sadece iki rakam kullanılabilmesi için, B’den uzaklı˘ gı
belirten bölme de  ve  rakamlarından olu¸smalıdır. Toplamları 999 olması gerekti˘ gin­
den,  +  =9 olmalıdır. O halde bunların her biri için  {0 1 2  9} kümesinden
seçilebilir ve  bu durumda tek türlü belirli olaca˘ gından,    durumlarının
her biri için 10’ar tane istenen durum vardır. Di˘ ger taraftan, tabeladaki A’dan uzaklık
 formunda ise, yani tek rakamdan olu¸suyorsa, tabeladaki B’den uzaklık da 
formunda olacaktır. Bu durumda 10 tabela elde edilir. Sonuç olarak 40 tane tabela
oldu˘ gu görülür.

10. 10 özde¸s kalem, 5 farklı kutuya, kutulardan en fazla ikisi bo¸s kalacak biçimde,
kaç farklı ¸sekilde payla¸stırılabilir?
Çözüm : 10 özde¸s kalemi, 5 farklı kutuya kutulardan en fazla ikisi bo¸s kalacak ¸sekilde
payla¸stıraca˘ gız. Payla¸stırma sayısını 3 durumda inceleyerek elde edebiliriz.
i) Kutulardan hiçbiri bo¸sde˘ gilse,
Bu durumu sa˘ glamak için, öncelikle her kutuya 1 kalem koyarız. Geriye, 5 kalem
kalır. 5 kalemi de 5 kutuya ¡ 5+4 ¢ = 126 de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtmak mümkündür.
5
ii) Kutulardan sadece biri bo¸sise,
Bu durumu sa˘ glamak için, öncelikle 5 kutudan 4’ünü seçeriz ki, bunu 5 farklı ¸sekil­
de yaparız. Seçti˘ gimiz 4 kutuya birer kalem koyarak bo¸s olmamasını garantileriz.
¡ 6+3 ¢
Böylece, geriye kalan 6 kalemi bu 4 kutuya 5 3 = 420 de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtmak
mümkün olacaktır.
iii) Kutulardan sadece ikisi bo¸sise,
5
Bu durumu sa˘ glamak için, öncelikle 5 kutudan 3’ünü seçeriz ki, bunu ¡ ¢ =10 farklı
3
¸ sekilde yaparız. Seçti˘ gimiz 3 kutuya birer kalem koyarak bo¸s olmamasını garantileriz.
¡ 7+2 ¢
Böylece, geriye kalan 7 kalemi bu 3 kutuya 10 2 = 360 de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtmak
mümkün olacaktır.
Sonuç olarak, istenen ¸sekildeki da˘ gıtım sayısı 126 + 420 + 360 = 906 olur.