Page 260 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2008 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 259

√
19. x 1 =10 5 olmak üzere, (x  ) dizisi x  (x +1 −x  ) =10 ba˘ gıntısı ile
tanımlansın. x 101 teriminin tamde˘ geri kaçtır?
√
Çözüm :  1 =10 5 olmak üzere, (  ) dizisi   ( +1 −   )=10 ba˘ gıntısı ile
tanımlanıyor.  101 teriminin tamde˘ gerini arıyoruz.  +1 =   +(10  ) ise,
¡ ¢
2
 2 =  +20+ 100 2
+1  
olacaktır.  =1 2  100 için
¡
2
2
 =  +20+ 100 2 1 ¢
1
2
¡
2
2
 =  +20+ 100 2 2 ¢
3
2
···
¡
 2 101 =  2 100 +20+ 100 2 100 ¢
e¸sitliklerini taraf tarafa toplarsak,
µ ¶
1 1 1
2
2
 101 =  +20 · 100 + 100 2 + 2 + ·· · + 2  500 + 2000 = 2500
1
  
1 2 100
1 1
elde edilir. Her  için,  ≥  = 500 oldu˘ gundan, olur ki, buradan
2
2
 1 2 ≤
 500

µ ¶
1 + 1 + ··· + 1 1 = 1
 2  2  2  100 · 500 5
1 2 100
bulunur. Dolayısıyla,  2 101  2500 + 100 (15) = 2520 olaca˘ gından,
2500  2 101  2520
elde edilir ki, bu  101 teriminin tamde˘ geri 50 bulunur.
20. Kenar uzunlu˘ gu 1 olan düzgün be¸sgenin kö¸segenleri kesi¸serek, bu be¸sgenin
içinde küçük bir düzgün be¸sgen olu¸sturuyorlar. Küçük be¸sgenin kenar uzun­
2
lu˘ guna x denilirse, (2x − 3) kaçtır?
A
Çözüm : || =  diyelim. Bu durumda, || =
|| = || =  olacaktır. Ayrıca,  ve a
 oldu˘ gundan,  bir paralelkenardır ve a N x M a
 +  =1’dir. B E
 =  =  =  =  = 
b
b
b
b
b
b
K
açılarının e¸sitli˘ ginden,  ve  üçgenleri ben­ a a
zer üçgenlerdir. Buna göre,
C D
1
|| || 1 
= ⇒ =
|| || 2 +  1
olur. Bu e¸sitlikte  =1 −  yazılırsa,  =3 − 1 olur. O halde,
2
2 2
(2 − 3) =4 − 12 +9 = 4 (3 − 1) − 12 +9 = 5
bulunur.