Page 255 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

254 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

 (11 · 101) = 10 · 100 = 1000
olarak bulunabilir. O halde istenen sayıların toplamı 1000 tane 12 olacaktır. Yani
yanıt 10002 = 500 olarak bulunur.

7. ABCD yamu˘ gunun AD tabanı üzerinde bir R
K noktası alınsın. BK ve AC do˘ grularının ke­
si¸sim noktası G olmak üzere, RG do˘ grusu ile
AD ’nin kesi¸sim noktasına F diyelim. B E C
|AF | 4 |FK|
= ise, oranı kaçtır?
|FD| 11 |AF | G
A D
F K
Çözüm :  ve  üçgenlerinin benzerli˘ gi ile  ve  üçgenlerinin
benzerli˘ ginden,

|| || ||
= =
|| || ||
olur. Bu e¸sitlikten, || = || elde edilir. O halde, || oranını hesaplamalıyız.
|| || ||
Bunun için  ve  üçgenlerinin benzerli˘ gi ile  ve  üçgenlerinin
benzerli˘ ginden,

|| || ||
= =
|| || ||
elde edilir ki, buradan da || = || = 4 bulunur.
|| || 11

1001 1001 1001 1001 1001
8. A =2 +3 +4 + ··· +2000 +2001 sayısının 77 ile
bölümünden kalan kaçtır?
¡


Çözüm :  bir tek sayı olmak üzere,  +  =( + )  −1 − ··· +  −1 ¢ for­
mülünü kullanaca˘ gız. Bunun için,
 =2 1001 +3 1001 +4 1001 + ·· · + 2000 1001 + 2001 1001
sayısını
¡ 1001 1001 ¢ ¡ 1001 1001 ¢
 = −1+ 1 + 2001 + 2 + 2000 + ···
¡ 1001 1001 ¢ 1001
+ 1000 + 1002 + 1001
biçiminde yazarsak, parantez içindeki her bir terimin 2002 = 2 · 7 · 11 · 13 ile
bölünebilece˘ gi açıktır. Dolayısıyla 1001 1001 sayısı da 77 ile bölünece˘ ginden,
 ≡−1 ≡ 76 (mod 77) elde edilir.