Page 274 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2010 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 273

1
10. a ve b pozitif sayılar olmak üzere, a 1 =  a 2 = a 1 +1,a 3 = a 1 a 2 +1,
a
1
... a 100 = a 1 a 2 ...a 99 +1 ve a 1 a 2 ...a 99 a 100 = ise,
b
1 1 1
A = + + ··· +
a 1 a 2 a 100
toplamının a ve b cinsinden de˘ geri nedir?
Çözüm :   =  1  2  −1 +1 e¸sitli˘ ginin her iki yanı  1  2   ile bölünürse,
1 1 1
= −
   1  2  −1  1  2  
olur.  =2 3  100 için toplarsak,
100
X 1 1 1
= −
   1  1  2  100
=2
ve buradan
100
X 1 2 1
= − =2 − 
   1  1  2  100
=1
bulunur.

11. 1, 2, 3, ..., 50 sayıları içinde x −3 ≡ 0 ( mod 13 ) denkli˘ gini sa˘ glayan kaç
14
sayı bulunur?
Çözüm : Fermat teoremine göre,  13 ≡  (mod 13)olur. Ohalde,
2
 14 − 3 ≡  13 − 3 ≡  − 3 ≡  − 16 ≡ ( − 4)( +4) ( mod 13 )
Buradan,  13 ≡  (mod 13) denkli˘ gini sa˘ glayan ’ler kümesi,  ≡ 4 (mod 13 )ve
 ≡−4 ≡ 9 (mod 13 ) denkliklerini sa˘ glayan ’lerden olu¸sur. Dolayısıyla çözüm
kümesi, 4 17 30 43 9 22 35 48 sayılarıdır.

12. ha 1 ,a ,a ,a ,a i gösterimi
2 3 4 5
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
+ 2 + 3 + 4 + 5
5 5 5 5 5
toplamını ifade etmektedir. a 1 ,a ,a ,a ,a rakamları {0, 1, 2, 3, 4} kümesin­
2
4
3
5
den seçilmek üzere, tüm ha 1 ,a ,a ,a ,a i sayılarının olu¸sturdu˘ gu kümenin
4
3
2
5
elemanları büyükten küçü˘ ge sıralanıyorlar. Buna göre, ba¸stan 2222. sayı nedir?
Çözüm : Azalan sırada dizilmi¸s
 1  2  3  4  5
+ + + +
5 5 2 5 3 5 4 5 5
5 4 3 2
sayılarının herbirini 5 ile çarparsak, yine azalan sırada  1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5+ 5
¸ seklinde, yani, 5 sayı tabanında yazılmı¸s ( 1  2  3  4  5 ) 5 sayıları elde ederiz.