Page 275 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

274 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Bu sayıların en büyü˘ gü 5 sayı tabanında (44444) 5 ’tür. Bunun onluk tabandaki kar¸sılı˘ gı,
2
3
4
4 · 5 +4 · 5 +4 · 5 +4 · 5 + 4 = 3124
olup
3124 3123 3122 
dizisinde ba¸stan 2222’inci sayı 3124 − 2221 = 903’tür. Buna göre,
3
2
4
903 = (12103) 5 =1 · 5 +2 · 5 +1 · 5 +0 · 5+3
5
ifadesi 5 ile bölünürse
1 2 1 0 3
+ + + + = h1 2 1 0 3i
5 5 2 5 3 5 4 5 5
bulunur.
√ √ √ √
1 · 2 2 · 3 3 · 4 2009 · 2010
13. + + + ·· · +
2009 2009 2009 2009
sayısının ondalık yazılımında virgülden sonraki ilk basamaktaki rakam kaçtır?
p
2009 ( +1)
+
Çözüm : P toplamını hesaplamalıyız.  ∈ Z olmak üzere,
=1 2009
2
2
2
2
( +0 4) =  +08 +016  +   +  +0 25 = ( +0 5) 2
oldu˘ gundan,
2
2
( +0 4)  +  ( +0 5) 2
olur. Buradan da
p
 +0 4   +   +0 5
2
bulunur.  =1 2 3 2009 için e¸sitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
2009 2009 2009
X X p X
 +0 4 · 2009  ( +1)   +0 5 · 2009
=1 =1 =1
elde edilir. Buna göre,
2009 p
P
( +1)
2010 =1 2010
+0 4   +0 5
2 2009 2
olaca˘ gından, virgülden sonraki ilk basamak 4 olarak bulunur.
14. n bir do˘ gal sayı olmak üzere,
1 1 1 1 2 
+ + + ··· + =
1!19! 3!17! 5!15! 19!1! 2n +1
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan k tamsayısı kaçtır?