Page 277 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

276 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

17. ABCD bir ikizkenar yamuk, [AB] // [DC], |AB| = |BC| = |AD| =5
ve |CD| =11 olarak verilsin. AEB üçgeninin alanı, BEC üçgeninin alanının
5katı olacak ¸sekilde, aynı düzlem üzerinde seçilen bir E noktası ile D noktası
arasındaki uzaklık en az kaçtır?
Çözüm :  ve  noktalarından [] do˘ grusuna çizilen dikme ayakları sırasıyla  ve
 olsun. || = || =5 oldu˘ gundan
11 − 5
|| = || = =3
2
bulunur. O halde || = || =4 olur.  yamu˘ gunu,     kö¸seleri
sırasıyla (8 4), (3 4)(0 0) ve (11 0) noktaları olacak ¸sekilde analitik dü­
zleme yerle¸stirelim. [] do˘ grusunun denklemi 4 − 3 =0 [] do˘ grusunun
˙
denklemi  − 4=0 olur. Istenen ko¸sulları sa˘ glayan nokta ( ) noktası ol­
sun.  noktasından [] ve []’ye çizilen dikme ayakları sırasıyla,  ve  ol­
sun. Taban uzunlukları e¸sit üçgenlerin alanları yükseklikleri ile orantılı oldu˘ gundan,
M M
()=5() olup, || =5 ||’dir.  noktasının [] ve []
do˘ grularına uzaklı˘ gını hesaplarsak,
|4 − 3| |4 − 3| | − 4|
|| = √ = ve || = √ = | − 4|
2
2
4 +3 2 5 0 +1 2
bulunur. || =5 || oldu˘ gu göz önünde bulundurulursa, | − 4| = |4 − 3|
elde edilir. Bu e¸sitlikten,
i)  −4=4−3 denilirse, 4−4 +4 = 0 yani − +1 = 0 do˘ grusu elde edilir.
Aranan  noktası bu do˘ gru üzerinde bulunaca˘ gından (11 0) noktasının bu do˘ gruya
uzaklı˘ gını hesaplarsak

|11 − 0+1| √
|| = √ =6 2
2
1 +1 2
bulunur.
ii) 4 −  =4 − 3 denilirse 4 − 2 − 4=0 yani 2 −  − 2=0 do˘ grusu elde
edilir. Aranan  noktası bu do˘ gru üzerinde bulunaca˘ gından, (11 0) noktasının bu
do˘ gruya uzaklı˘ gını hesaplarsak

|2 · 11 − 0 − 2| √
|| = p 2 2 =4 5
2 +(−1)
bulunur.
√ √ √
Sonuç olarak, 6 2  4 5 oldu˘ gundan, en yakın mesafe 6 2 bulunur.
(Yukarıdaki çözümü yapıp bize gönderen Matematik Ö˘ gretmeni Lokman Gökçe’ye
te¸sekkür ederiz.)