Page 276 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2010 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 275

˙
Çözüm : Ifadenin sa˘ g tarafını 20! ile çarparsak,
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
20 20 20 20 20−1 19
+ + + ·· · + =2 =2
1 3 5 19
olaca˘ gından,
1 1 1 1 2 19
+ + + ·· · + =
1!19! 3!17! 5!15! 19!1! 20!
olur. 20! = 2 · (2 +1) e¸sitli˘ ginden

»¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼
¯ 20 ¯ ¯ 20 ¯ ¯ 20 ¯ ¯ 20 ¯
 = ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ =18
2 4 8 16
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
bulunur. Dolayısıyla,  =19 − 18 = 1 olur.
15. ¸Sekilde |AB| = c, |AC| = b ve c>b olup, D,
[BC] ’nin orta noktası; [AK]  BAC açısının açıor­ A
tayı ve E noktası da D nin bu açıortaya göre simetri˘ gi
olsun. Buna göre, A ile D arasındaki uzaklık nedir? C D B
K
E
Çözüm :  ve  do˘ gruları çizilirse,  ve ’nin
[]’ya simetrik olu¸sundan ||=|| ve =
b
b
olur. Aynı zamanda,  açısı ile  açısı aynı yayı gördüklerinden dolayı e¸sit­
b
b
tirler. Dolayısıyla,  üçgeni ile  üçgeni benzerdir. Bu durumda
|| ||
=
|| ||
√
2
e¸sitli˘ ginden, || = |||| =  ·  olur. Buradan, || =  bulunur.
16. a  dizisi, a 1 = a 2 =1 ve n ≥ 2 için
1
a +1 −a −1 = ¸ seklinde tanımlanıyor. Buna A
a 
göre, a 99 oranı kaçtır?
a 97
Çözüm :  +1   −    −1 =1 ( =2 3 ) C D B
e¸sitli˘ ginde  +1   =   denilirse,   − −1 =1 olur. E K
Yani, (  ) dizisi, ilk terimi 1 ve dizi farkı da 1 olan
aritmetik dizidir. Dolayısıyla,   = ’dir. O halde,
 +1   =  olaca˘ gından,
  
 +1 = = =  −1
   − 1  − 1
 −1
e¸sitli˘ ginden,  +1 =  elde edilir. Bu e¸sitlikten de  99 = 98 bulunur.
 −1  − 1  97 97