Page 278 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2010 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 277

√
4
x +9−3
18. x> 0 olmak üzere, x− ifadesinin alabilece˘ gi en büyük de˘ ger
x
kaçtır?
√ √
2
4
 +9 − 3  +3 −  +9 √
4
2
4
Çözüm :  − = ifadesi  +3+  +9 ile
 
çarpılıp, bölünürse
6 2 6
√ = r
2
4
( +3+  +9) 3 9
2
 + +  +
  2
3 √ 9
2
olur.  ≥  e¸sitsizli˘ ginden,  + ≥ 2 3 ve  + ≥ 6 (e¸sitlik durumu
  2
√
 = 3 için aynı anda sa˘ glanır) olaca˘ gından,
6
r
3 9
2
 + +  +
  2
ifadesinin en büyük de˘ geri
6 √ √
√ √ = 6( 2 − 1)
2 3+ 6
olarak bulunur.
√ C
19. ¸Sekilde |AD| =4, |DC| =2 2 ve |DB| =2
’dir. A + B =60 ise, C ’den [AB] ’ye indirilmi¸s
◦
b
b
yüksekli˘ gin uzunlu˘ gu nedir? A D B
Çözüm :  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi 
olsun. ()+ ()= 60 oldu˘ gundan,
◦
b
b
() = 120 ◦
b
’dir. []’ye [] ve [] dikmesini indirelim.
()= 30 ve || =3 oldu˘ gundan, 
◦
b
√
√
üçgeninden || =2 3 olup, || =2 3 bulunur.
 üçgeninde kosinüs teoreminden
2 2 2
◦
|| = || + || − 2 ||·||· cos 30 =4
oldu˘ gundan, || =2 bulunur. Yani, OBD ikizkenar üçgendir. Buradan
()= 60 bulunur.
◦
b
2 2 2
|| + || = ||
oldu˘ gundan,  bir dik üçgendir ve ()=60 oldu˘ gundan, ()=30 ’dir.
◦
◦
b
b
√
Ohalde,  dik üçgeninde || = 2 bulunur.