Page 279 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

278 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

20. Farklı olmaları gerekmeyen 100 reel sayıdan olu¸san bir kümede, her sayı,
geriye kalan 99 sayının toplamının 1/7’sinden büyük olsun. Bu kümedeki negatif
sayıların sayısı en az kaçtır?
Çözüm : Tüm negatif sayılar  1  2     olsun. Verilen 100 sayının toplamına 
denirse, problemin ko¸sulu gere˘ gi,
1 1 1
 1  ( −  1 ) 2  ( −  2 ) ...   ( −   )
7 7 7
olur. Bu e¸sitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,

8( 1 +  2 + ··· +   ) 
ve buradan
8
( 1 +  2 + ··· +   ) 

bulunur.  ≥  1 +  2 + ··· +   oldu˘ gundan, yukarıdaki e¸sitsizli˘ gin sa˘ glanması için
 8 olmalıdır.  =9 için bir örnek verelim:
 1 =  2 = ·· · =  9 = −1 ve  10 =  11 = ··· =  100 =0