Page 280 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2011 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. m, n ∈ Z ve 1 ≤ m< n ≤ 25 olmak üzere, elde edilebilecek tüm mn çarpım­
larının toplamının 9’a bölümünden kalan kaçtır?
˙
Çözüm : 1. Yol. Istenen toplam, ko¸sulsuz elde edilebilen tüm toplamdan, karelerin
toplamını çıkartıp 2’ye bölerek elde edilebilir. Buna göre istenen toplam,
1 £ ¡ 2 2 2 ¢¤
(1 + 2 + ··· + 25) (1 + 2 + ·· · + 25) − 1 +2 + ··· +25
2
" #
µ ¶ 2 µ ¶
1 25 · 26 25 · 26 · 51
= − =50 050
2 2 6
biçiminde bulunabilir. Yanıt : 1.
−1
25 P P
2. Yol.  ·  toplamını hesaplayaca˘ gız.
=2 =1
2
2
−1 25 P  ( − 1) 24 P ( +1) 
P
25 P
 ·  = =
=2 =1 =2 2 =1 2
24 24
1 P 3 24 P 2 1 P
=  +  + 
2 =1 =1 2 =1
µ ¶ 2 µ ¶
1 24 · 25 24 · 25 · 49 1 24 · 25
= + + = 50050
2 2 6 2 2
elde edilir. 9’a bölümünden kalan 1’dir.
A E D
2.¸Sekilde, ABCD bir kare ve BE//F D olup, aralarındaki
uzaklık 1 br’dir. A(AEB)= A(BEDF )= A(FCD) ise,
karenin alanı nedir?
4
Çözüm : ()= () e¸sitli˘ ginden,
 p B F C
=  +  2 (∗)
2
2
denklemi elde edilir. 4
2
()= 3() oldu˘ gundan,  =32
A E D olur. Son e¸sitlikten,
3
 =
2
1 x olacaktır. Bunu (∗) e¸sitli˘ ginde kullanırsak,
r
3 2 9 2 √
2
= +  e¸sitli˘ ginden,  =2 133 ve
4 4
B x-y F y C  = √ 13 bulunur. O halde karenin alanı 13’tür.