Page 306 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 305

8. ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve a kenarı kar¸sısındaki kö¸se açısı
60 olsun. a =4 ve b =3 ise,
◦
3
3
a +b +c 3
a + b + c
kaçtır?
Çözüm : Kosinüs teoremine göre, 16 = 9 +  − 2 · 3 ·  · cos 60 oldu˘ gundan,
2
◦
2
 =3 +7
elde edilir. Bu ifadeyi  ile çarparsak,
3
2
 =3 +7 =3 (3 +7)+7 =16 +21
olur. Buna göre,
3
3
3
3
 +  +  3 4 +3 +16 +21 16 +112 16 ( +7)
= = = =16
 +  +  4+3 +   +7  +7
elde edilir.
9. ABC üçgeninde 2 · m(A) − m(C)=180 olup, |BC| = a, |CA| = b ve
◦
b
b
|AB| = c ise, b’nin a ve c türünden e¸siti nedir?
Çözüm : ()= 2 diyelim.
b
Buna göre,
()= 90 + 
◦
b
olur. ¸ Simdi, [] üzerinde
()= 2 olacak ¸sekilde
bir  noktası alalım.
Bu durumda,
()=()=90 − 
◦
olaca˘ gından,  üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve || = || = ’dir. Buradan,
|| =  −  olur. Açı­açı­açı benzerli˘ ginden  ∼  oldu˘ gu göz önüne
alınırsa,

|| ||  −  
= ⇒ =
|| ||  
2
e¸sitli˘ gi elde edilir. Buradan,  −  =  e¸sitli˘ ginden
2
2
 −  2
 =

bulunur.