Page 309 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

308 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

2
2
2
2
2
2
14. 100 +1, 100 +2, 100 +3, ..., 102 −2, 102 −1, 102 sayılarından
100’e bölünenlerin toplamının, kaç pozitif çift böleni vardır?
Çözüm : Çözümümüzü, genel halde yapalım. Herhangi,
2
2
 +1 +2  ( +2) 2
sayı dizisinde  ile bölünenler sadece
2
2
2
2
 +   +2  +3 ve  +4
sayılarıdır. Çünkü,  ≥ 4 için,
2
2
 +5 =  +4 +  ( +2) 2
dir. Buna göre, bu sayıların toplamı,
¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ 2
 +  +  +2 +  +3 +  +4 =10 +4 =2 (2 +5)
olup,  = 100 için, 200 (200 + 5) = 2 5 41 elde edilir. Buna göre, çift pozitif
3 3
bölenlerinin sayısı :
(3 + 1) (3 + 1) (1 + 1) − (3 + 1) (1 + 1) = 24
bulunur.
2
3
2
15. Kaç tane m ∈ [−100, 100] tamsayısı için, m +m +11 sayısı, m −m +1
sayısına tam bölünür?
¢
¡
2
2
3
Çözüm :  +  +11 = ( +2)  −  +1 +( +9) oldu˘ gundan,
2
3
 +  +11  +9
=  +2+
2
2
 −  +1  −  +1
biçiminde yazabiliriz.  = −9 için sa˘ g tarafın bir tamsayı oldu˘ gu açıktır. Di˘ ger 
de˘ gerlerini bulalım.
Her  ∈ Z için,  −  +1  0 oldu˘ gu açıktır.  +9’un  −  +1 de˘ gerine
2
2
bölünebilmesi için,
2
| +9| ≥  −  +1
olması gerekir. Yani,
2
2
 +9 ≥  −  +1 veya  +9 ≤− +  − 1
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanmalıdır.
i) +9 ≥  −+1 ⇒  −2−8 ≤ 0 ⇒ ( +2) ( − 4) ≤ 0 e¸sitsizli˘ ginden,
2
2
 ∈ [−2 4] oldu˘ gu görülür.  = −2 −1 0 1 2 3 4 için kontrol edilirse, sadece
2
 = −2 0 1 ve 4 için,  +9’un  −  +1’e bölündü˘ gü görülür.
2
ii)  +9 ≤− +  − 1 ⇒  +10 ≤ 0 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan  de˘ geri yoktur.
2
2
Sonuç olarak,  sayısının, −9 −2 0 1 ve 4 de˘ gerleri için  +  +11 sayısı
3
2
 −  +1’e bölünür. Yanıt : 5.