Page 303 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. bac ifadesi, a’dan büyük olmayan en büyük tamsayıyı göstermek üzere,
¥ 2 ¦
x −2x +1 = 0
denkleminin tüm çözümlerinin toplamı kaçtır?
 +1
¦
¥
Çözüm :  2 =  diyelim. Bu durumda,  ≥ 0 olmak üzere,  = olur.
2
Denklemde yerine yazarsak,
$ % $ %
µ ¶ 2 µ ¶ 2
 +1  +1  +1
− 2 · +1 = 0 ⇒ = 
2 2 2
µ ¶ 2
 +1
⇒  ≤  +1
2
2
⇒ 4 ≤  +2 +1  4 +4
elde edilir. Buradan,
2
2
 − 2 +1 ≥ 0 ve  − 2 − 3  0
e¸sitsizlikleri elde edilir. Bu iki e¸sitsizli˘ ge göre,  ∈ (−1 3) olur. Yani,  =0 1 2
1 3
olabilir. Böylece,  de˘ geri de sırasıyla  1 ve bulunur. O halde, çözümler toplamı
2 2
1 3
+ +1 = 3 olur.
2 2

2. 20 ki¸silik bir sınıfta, bir matematik testi yapılıyor. Herkesin en az bir soru
çözdü˘ gü bu sınavda, testteki her bir problem tam 13 ö˘ grenci tarafından çözülüyor.
20 ö˘ grencinin iki tanesi dı¸sında her biri 5’er soru çözüyor. Buna göre, farklı
sayıda soru çözen son iki ö˘ grenci arasından az sayıda soru çözen ö˘ grenci, en az
kaç soru çözmü¸s olabilir?
Çözüm : Sınavdaki soru sayısı  olsun. Sınavdaki, her bir soru 13 ö˘ grenci tarafından
çözüldü˘ güne göre, çözülen toplam soru sayısı 13 ·  olur. Di˘ ger yandan, 18 ö˘ grenci
be¸ser soru çözmü¸s. Yani, 18 · 5=90 soru çözmü¸sler. Di˘ ger iki ö˘ grencinin çözdükleri
soru sayılarının toplamı  olsun.  ≤ 2 olaca˘ gı açıktır. Buna göre,

13 ·  =90 +  veya  =13 − 90
yazılabilir.  =7 alınırsa,  =1 olur ki, bu mümkün de˘ gildir.  =8 alınırsa,

 =13 · 8 − 90 ⇒  =14
elde edilir. Buna göre, en fazla soru çözen maksimum 8 soru çözebilece˘ ginden, en az
çözen 6 soru çözmü¸stür.