Page 305 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

304 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Buradan, 3 1 +9 2 +4 3 ≤−18 elde edilir ki, soruda bize 3 1 +9 2 +4 3 = −18
olarak verilmi¸sti. Aritmetik ­ Geometrik ortalama e¸sitsizli˘ ginde, e¸sitlik durumunun
sa˘ glanması için gerek ve yeter ko¸sul
3 1 =9 2 =4 3 = −6
olmasıdır. Buradan,  1 = −2 2 = −23 ve  3 = −32 bulunur. Böylece,
4 9 79
2
2
2
 +  −  =4 + − =
1 2 3
9 4 36
elde edilir.
6. 6! sayısını böldü˘ günde 6 kalanı elde edilen kaç sayı vardır?
Çözüm : Söz konusu bölenlerin her birinin 6’dan büyük olması gerekti˘ gi açıktır. O
halde, (6! − 6) sayısının 6’dan büyük olan bölenlerinin sayısını bulmalıyız.
6! − 6=2 × 3 × 7 × 17
e¸sitli˘ gine göre, 6’dan büyük bölenler sayısı 2 − 4=12’dir.
4

3
x +x
7.  pozitif reel sayı olmak üzere, ifadesinin alabile­
3
2
x +3x +11x +3x +1
4
ce˘ gi en büyük de˘ ger kaçtır?
Çözüm : Verilen ifadeyi a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde düzenleyelim.
µ ¶
1
2
  +
3
 +  
= µ ¶
2
3
4
 +3 +11 +3 +1 2 2 3 1
  +3 +11+ +
  2
µ ¶
1
 +

= µ ¶ 2 µ ¶
1 1
 + +3  + +9
 
1
¸ Simdi, + =  diyelim. Buna göre, Aritmetik ­ Geometrik ortalamalar e¸sitsizli˘ gin­

den
2
 +3 +9 µ 9 ¶ √
=3 +  + ≥ 3+2 9=9
 
oldu˘ gundan,
 1
≤
2
 +3 +9 9
1 √
bulunur. E¸sitlik durumu,  =3 için, yani  + =3,  =(3 + 5)2 için sa˘ glanır.
