Page 301 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

300 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

21. 0 <x< 1 ve 0 <y < 1 olmak üzere, x +3y ve 3x + y ifadelerinin her
ikisini de tamsayı yapan kaç (x, y) ikilisi vardır?
Çözüm : 0  +3 4 ve 0  3 +  4 oldu˘ gundan, 1 ≤  +3 ≤ 3 ve
1 ≤ 3 +  ≤ 3 sa˘ glanır. Yani,  +3 ve 3 +  ifadelerinin alabilece˘ gi tam de˘ gerler
1 2 ve 3’tür.  ve  sayısı 1 2 3’ten biri olmak üzere,

 +3 =  ve 3 +  = 
denklem sisteminin bir tek çözümü vardır :
3 −  3 − 
 = ve  = 
8 8
 ve  yerine 1,2,3 sayılarını yazarsak 9 tane ( ) ikilisi bulunur. Bunların içinde 2
tanesi için 0  1 ve 0   1 ko¸sulu sa˘ glanmaz. Çünkü,  =1 =3 için,
( )=(1 0) ve  =3 =1 için ( )=(0 1) olur. O halde, istenen özelli˘ ge
sahip 7 ikili vardır.

22. Dısbükey ABCD dörtgeninde |AB| = |BC| =10, |CD| =8, |DA| =6
ve AD ⊥ DC dir. [AB]ve[BC] kenarlarının orta noktaları sırasıyla E ve F
ise, m(EDF ) kaç derecedir?

Çözüm :  dik üçgeninde || =10 olur. Dolayısıyla

|| = || = ||
olup  üçgeninin eskenar oldu˘ gunu görürüz. [] kenarının orta noktası  olsun.
 e¸skenar üçgeninde [] ve [] birer yükseklik oldu˘ gundan O merkezli []
çaplı çember    noktalarından geçer. Aynı yayı gören çevre açıların e¸sitli˘ ginden
()= ()= 30 bulunur.
◦