Page 307 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

306 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

10. Bir torbada 3 farklı renkte bilye vardır. Mavi bilyelerin sayısı, sarı bilyelerin
sayısının 2 katı, beyaz bilyelerin sayısı da sarı bilyelerin sayısının 3 katının 1
fazlası kadardır. Torbadan, her alı¸sta torbada bulunan bilyelerin sayısının 2
katının 1 fazlasının 3’te biri kadar bilye alınarak, 7 defa bilye alınıyor.7’inci
alı¸stan sonra torbada bilye kalmadı˘ gına göre, torbada ilk ba¸sta kaç tane sarı
bilye vardı?
Çözüm : Her hamlede, torbadaki bilye sayıları arasındaki ili¸skiyi bulalım. Herhangi
bir hamlede, bilye sayısı ’den ’e dü¸ssün. Buna göre,
2 +1  − 1
 − = = ,
3 3
yani,  =3 +1 olmalıdır. O halde, tersten ba¸slarsak, bir sonraki bilye sayısı bir
önceki bilye sayısının 3 katından 1 fazla olmalıdır. 7 adımda bilye sayısı 0 oldu˘ gun­
dan,  =3 +1 formülü kullanılırsa a¸sa˘ gıdaki adımlar olu¸sur :
0 → 1 → 4 → 13 → 40 → 121 → 364 → 1093
Buna göre, ba¸slangıçtaki bilye sayısı 1093 olmalıdır. Di˘ ger yandan,   ve 
sırasıyla mavi, sarı ve beyaz bilye sayısını göstermek üzere,
 =2 ve  =3 +1
oldu˘ gundan, toplam bilye sayısı 6 +1 formunda olmalıdır. 6 +1 = 1093 e¸sitli˘ gin­
den,  = 182 olur.

√
11. |AB| = |BC| = 2 |CD| olan ABCD dörtgeninde
◦
m(B)=108 ,m(C)=153 ◦
b
b
ise, m(A) kaç derecedir?
b
Çözüm : Genelli˘ gi bozmaksızın
√
|| = || = 2 ve || =1
alabiliriz. Buna göre, ¸sekildeki gibi bir ke­
nar uzunlu˘ gu √ 2 olan  düzgün
be¸sgeni olu¸sturulabilir.
√
||= 2 ve
() = 153 − 108 =45 ◦
◦
◦
oldu˘ gundan, ||=1 olur. Yani,  bir
ikizkenar dik üçgendir.
Ohalde, [],  altıgeninin
simetri eksenidir. Buradan,
108 ◦
()= ()= =54 ◦
2
elde edilir.