Page 310 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 309

3
16. P (x) =36x −36x +5x +4x − 1 polinomunun kökleri x 1 ,x ,x ve
4
2
2
3
x 4 olsun.
¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢
S = 1 − x 1 1 − x 2 1 − x 3 1 − x 4
ifadesinin de˘ geri kaçtır?
Çözüm :  ()= 36 ( −  1 )( −  2 )( −  3 )( −  4 ) e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
 (1) = 36 (1 −  1 )(1 −  2 )(1 −  3 )(1 −  4 );
 (−1) = 36 (1 +  1 )(1 +  2 )(1 +  3 )(1 +  4 )
2
oldu˘ gundan,  (1)  (−1) = 36  elde edilir. Buradan,
 (1)  (−1) (36 − 36 +5+4 − 1) (36 + 36 + 5 − 4 − 1) 4
 = = =
36 2 36 2 9
1 1 1 1
bulunur. (Not :  () polinomunun kökleri ;   ve − ’tür.)
2 2 3 3

17. f (x) fonksiyonu, x sayısının basamak sayısını göstermek üzere,
¡ 2 ¢ ¡ 3 ¢ ¡ 4 ¢ ¡ 20 ¢
f (a) +f a +f a +f a + ·· · + f a
toplamı en fazla 2730 olabiliyorsa, a sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm : Önce,  basamaklı bir sayının ’inci kuvvetinin, en az  ( − 1) + 1
basamaklı ve en fazla · basamaklı oldu˘ gunu gösterelim.
 basamaklı en küçük sayı, 10 −1 oldu˘ gundan, ’inci kuvveti
¡ −1 ¢  −
10 =10
olacaktır. O halde, ’inci kuvveti en az  −  +1 basamaklı olabilir. Benzer
dü¸sünceyle,  basamaklı en büyük sayı, 10 −1 oldu˘ gundan, bu sayının ’inci kuvve­


tinin basamak sayısı daima, 10 sayısının ’inci kuvvetinin basamak sayısından 1
 
eksik olacaktır. (10 ) =10  sayısının basamak sayısı  +1 oldu˘ gundan, 
basamaklı bir sayının ’inci kuvvetinin basamak sayısı en fazla  olabilir. Buna
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ 20 ¢
3
2
4
göre,  ()+   +   +   + ··· +   toplamı en fazla,
 +2 +3 +4 + ··· +20 = (1+2+ ·· · + 20)  = 210 · 
olabilir. Böylece, 2730 = 210 ·  e¸sitli˘ ginden,  =13 bulunur.

18. x, y ve z pozitif reel sayılar olmak üzere, 7x − y +4z =7 ise,
2
3
2
2x +x +z −y + 1071
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ geri bulunuz.