Page 302 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2012 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 301

99!
23. x = olmak üzere, x− bxc sayısı kaçtır? (bxc sayısı, x sayısının tam
101
de˘ gerini göstermektedir.)
Çözüm : 101 asal oldu˘ gundan Wilson teoremine göre, 100! = −1 (mod 101)’dir.
Buradan,
100! = 100 + 101 ( ∈ N)
yazılabilir. Bu e¸sitli˘ ge göre,  ∈ N için,  = 100 olmalıdır. O halde,
100! 100
= + 100
101 101
olur. 100’leri sadele¸stirirsek,
99! 1
 = = + 
101 101
bulunur. Buradan, bxc =1101 elde edilir.

2
24. x ve y reel sayıları için |y − x| + |y + x| =4 e¸sitli˘ gi sa˘ glanırsa, y +x 2
+10x ifadesinin alabilece˘ gi en büyük de˘ ger ile en küçük de˘ gerin toplamı kaçtır?
Çözüm : | − | + | + | =4 denklemi ¸sekil­
deki karenin denklemidir.
2 B 2 2 2 2
 +  +10 =( +5) +  − 25
­5 ­2 2 oldu˘ gundan,
2
A L  +  +10 =  ⇔ ( +5) +  =  +25
2
2
2
olur. Sonuncu e¸sitlik,  −25 için merkezi
­2 √
(−5 0)’daveyarıçapı  +25 olan çember
√ √
2
2
denklemidir. ¸Sekilden || = 7 +2 = 53 bulunabilir. Buradan,  sayısının al­
abilece˘ gi en büyük de˘ ger +25 = 53 e¸sitli˘ ginden bulunur :  =28 Yine,  sayısının
alabilece˘ gi en küçük de˘ ger ’dan (−2 0)’a kadar olan uzaklık, yani 3 oldu˘ gundan,
√
 +25 = 3 ⇒  = −16 olur. Böylece, yanıt, 28 + (−16) = 12 olur.
√
4
25. n ≥ 10 bir tamsayı olmak üzere, a = n +n +1010 sayısının ondalık
2
sayı olarak gösteriminde virgülden sonraki ilk basamak kaçtır?
Çözüm :
p 1010 − 0 25 1010 505
2
0   +  + 1010−( +0 5) = √  =
2
 +  + 1010 + ( +0 5) 2 
505
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır. Buna göre,  ≥ 10 için, ≤ 0 0505 oldu˘ gundan,
4

√
2
 +0 5   +  + 1010  +0 5+0 0505 =  +0 550 5  +0 6
elde edilir. Dolayısıyla,  sayısının virgülden sonraki ilk basama˘ gı 5’tir.