Page 308 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 307

¢
12. 2x ¡ x −1 +x +1 = 0 denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
6
5
x − 1
¢
¡
3
4
Çözüm :  − 1= ( − 1)  +  +  +  +1 oldu˘ gu kullanılırsa,
5
2
3
5
6
2
4
 +2 +2 +2 +2 +2 +1 = 0
3
denklemi elde edilir. Bu denklemi  ile bölersek,
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1
3
2
 + +2  + +2  + +2 = 0
 3  2 
1
e¸sitli˘ gi elde edilir.  + =  denilirse,

1 2 3 1 3
2
 + =  − 2 ve  + =  − 3
 2  3
olaca˘ gından, denklem
¡ ¢
2
2
3
 +2 −  − 2=  − 1 ( +2) = 0
biçimine dönü¸sür. Buradan,
1 2
 = −2 ise,  + = −2 e¸sitli˘ ginden, ( +1) =0 ⇒  = −1 olur.

1 2
 = ±1 ise,  + = ±1 ⇒  ±  +1 = 0 denkleminde, 4 = −3  0

oldu˘ gundan reel kök yoktur.
O halde, sadece bir tane reel çözümün oldu˘ gu görülür.
2
13. (3x +2x + y +4z) 10 açılımındaki terimlerden biri rastgele seçiliyor. Seçilen
terimde x çarpanının bulunma olasılı˘ gı kaçtır?
7
¡
3
¡
¡
¡
5
7
Çözüm :  çarpanı, sadece 3 2 ¢ 3 (2)  3 2 ¢ 2 (2)  3 2 ¢ (2)  3 2 ¢ 0 (2) 7
çarpanlarının olması durumunda mümkündür. Buna göre,  ve 4 terimlerinin kuvveti
 ve  olmak üzere, belirtilen dört durum için sırasıyla,
 +  =6 +  =5 +  =4 ve  +  =3
olacaktır. Böylece,  teriminin bulunaca˘ gı,
7
7+6+5+4 = 22
durum olacaktır. Toplam durum sayısı ise,
µ ¶
13
= 286
3
oldu˘ gundan, istenen olasılık
22 1
=
286 13
bulunur.