Page 304 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 303

3. ABC e¸skenar üçgeninde [AC] kenarı üzerinde, E noktası ve [BC] kenarı
üzerinde D noktası, |AE| = |DC| olacak ¸sekilde alınmı¸stır. [AD] üzerinde,
[BF] ⊥ [AD] olacak ¸sekilde de bir F noktası alınıyor. [BE] ile [AD]’nin
kesi¸sti˘ gi nokta N olmak üzere, |NE| = a ve |NF| = b ise, |AD|’nin a ve b
cinsinden e¸siti nedir?
Çözüm : ||=||  ||=|| ve
()= ()=60 oldu˘ gundan,
◦
kenar­açı­kenar e¸slik tanımından
 = 
∼
olur. O halde,
()= ()
olaca˘ gından, ()= 60 elde edilir.
◦
 dik üçgeninde
|| =2 || =2
oldu˘ gundan, || =  +2 bulunur.

4. Terimlerinin tamamı tamsayı olan bir aritmetik dizide, a 1 =13’tür. a 1 =13
terimi ile 2013 terimi arasında en az 100 terim olması ko¸suluyla, 2013 sayısı bu
dizinin en az kaçıncı terimi olabilir?
Çözüm :   =  1 +( − 1)  e¸sitli˘ gini kullanaca˘ gız.  1 =13 ve   = 2013 olsun.
2013 = 13 + ( − 1) 
e¸sitli˘ ginden, ( − 1)  = 2000 = 2 5 elde edilir.  100 olması ko¸suluna göre,
4 3
 =16 ve  − 1 = 125 seçilebilir. Böylece, 2013 sayısı belirtilen ko¸sul altında en az
126’ncı eleman olabilir.

2
3
5. x +ax +bx +2 = 0 denkleminin x 1 ,x ve x 3 köklerinin üçü de negatif
2
2
reel sayılardır. 3x 1 +9x 2 +4x 3 = −18 oldu˘ guna göre, x +x −x de˘ geri
2
2
1
3
2
kaçtır?
−
Çözüm : Vieta teoreminden  1 ·  2 ·  3 = = −2’dir. Di˘ ger yandan,  1  2 ve  3
1
kökleri negatif oldu˘ guna göre,
(−3 1 )  (−9 2 ) ve (−4 3 )
de˘ gerleri pozitiftir ve Aritmetik ­ Geometrik ortalama e¸sitsizli˘ ginden,
−3 1 − 9 2 − 4 3 p
3
≥ (−3 1 ) · (−9 2 ) · (−4 3 )
3
p
3 2
= 3 −3 2  1  2  3
√
3
3 3
= 3 2 =6
elde edilir.