Page 312 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 311

20. Kaç tane m ∈ [−1001, 1001] tamsayısı için, x’in her reel de˘ gerinde,
2
2
P (x) = x +1000x + m ve Q (x) = x −1000x + m
sayılarının en az biri pozitif olur?
Çözüm :  (0) =  (0) =  oldu˘ gundan  0 olmalıdır. ¸Simdi,  =1 2 1001
için  () ve  () sayılarından en az birinin pozitif olaca˘ gını görelim. Her  ∈ R
için,
¡ 2 ¢
 ()+  ()= 2  +   0
oldu˘ gundan,  () ve  ()’den en az biri pozitiftir. Yanıt :1001.

◦
◦
◦
21. m(BAD)= 70 ,m(BDA)=52 ,m(BCD)=55 ,m(ACD)=29 ◦
b
b
b
b
olan dı¸sbükey ABCD dörtgeninde kö¸segenlerin kesim noktası E ise, m(AED)
b
kaç derecedir?
Çözüm : ()=180 − (70 +52 )=58 ◦
◦
◦
◦
ve ()= 55 − 29 ◦ =26 dir. ¸Simdi,
◦
◦
 açısının açıortayını çizelim. Bu açıortay
[] do˘ gru parçasını  noktasında kessin.
()=58 2=29 ve ()= 29 ◦
◦
◦
oldu˘ gundan,  bir kiri¸sler dörtgenidir. Aynı
yayı gören çevre açıların e¸sli˘ ginden,
()= ()= 26 ◦
bulunur.
◦
◦
()= 52 − 26 =26 ◦
oldu˘ gundan, ()= () elde edilir.
Yani, [,  açısının açıortayıdır.
Bir üçgende iç açıortaylar aynı nokatda kesi¸sti˘ gin­
den [,  üçgeninde bir iç açıortay ol­
malıdır. Buna göre,
70 ◦
()= ()= =35 ◦
2
olur ki,  üçgeninin iç açılar toplamından,
◦
◦
◦
() = 180 − 35 − 52 =93 ◦
elde edilir.
22. n =1, 2, 3, ..., 10 için a  sayısı, a  =1 000...000 1 ¸seklinde tanımlansın.
| {z }
2  −1 tane sıfır var
A =11 · a 1 ·a 2 ·a 3 ··· a 10 sayısının rakamları toplamı kaçtır?