Page 313 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

312 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Çözüm :   =10 2  +1 ¸seklinde yazılabilir. Buna uygun olarak,

  =11 ·  1 ·  2 ···  
diyelim. Biz  10 sayısının rakamları toplamını bulmak istiyoruz.
³ 1 ´ ³ 2 ´ ³ 3 ´ ¡  ¢
  =11 · 10 2 +1 · 10 2 +1 · 10 2 +1 ·· · 10 2 +1
1
¸ seklinde yazalım. Bu e¸sitli˘ gin her iki tarafını 10 −1= 99 ile çarpalım. Bu durumda,
2
sa˘ g tarafta iki kare farkı özde¸sli˘ gi pe¸spe¸se kullanılarak,
³ +1 ´ 10 2 +1 − 1
99  =11 · 10 2 − 1 ⇒   = = 111111
9 | {z }
2 +1 tane 1 var
elde edilir. Yani,   sayısının rakamlarının toplamı 2 +1 olur. Buna göre,  10
sayısının rakamları toplamı : 2 11 bulunur.

23. Bir karenin her kenarı üzerinde, kö¸se noktaları olmayan 4’er nokta i¸saretlen­
mi¸stir. Aynı kenar üzerinde bulunmayan herhangi iki i¸saretlenmi¸s nokta alınıyor
ve bu noktalar bir do˘ gru parçası ile birle¸stiriliyor. Bu parçaların herhangi üçünün
ortak noktası olmasın. Bu parçaların kesi¸siminden ortaya çıkan noktaların top­
lam sayısı kaçtır?
Çözüm : Karenin üzerinde alınan i¸saretli herhangi 4 nokta, e˘ ger bir dörtgen olu¸sturuy­
orsa, bu dörtgenin kö¸segenlerinin kesi¸sim noktası istenen noktalardan biri olur (¸Sekili
inceleyiniz). Buna göre, toplam 16 noktadan 4 tanesini seçece˘ giz. Tüm durumların
sayısı ¡ ¢ = 1820’dir. Kenarlardan birinin üzerinde 3 ya da dört nokta alınması
16
4
durumlarında, dörtgen olu¸smayaca˘ gından, istenmeyen bu tür durumları çıkarmalıyız.
Bir kenar üzerinden 3 nokta alınırsa,
¡ ¢ ¡ ¢
4 12
4 · · =4 · 4 · 12 = 192
3 1
istenmeyen durum olur. Bir kenar üzerinden 4 nokta alınırsa 4 istenmeyen durum olur.
O halde, istenen ¸sekildeki durumların sayısı
1820 − (192 + 4) = 1624
olur.

C B C B C B

A A A
D D D