Page 314 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 313

24. x log 100  =10x denkleminin tüm çözümlerinin çarpımının bir tamsayı oldu˘ gu
biliniyorsa, bu sayının rakamları toplamını bulunuz.
Çözüm :  0 bir çözüm olsun. E¸sitsizli˘ gin her iki tarafının 100 tabanında logarit­
masını alalım. Bu durumda,
1
2
(log ) =log  +
100 100
2
olur. log  =  denilirse,
100
1
2
 −  − =0
2
√
√
√
1 ± 3 (1+ 3)2 (1− 3)2
denkleminden,  12 = ve  1 = 100 ,  2 = 100 elde edilir.
2
Bu iki kökün çarpımı da :  1  2 = 100 olup, rakamları toplamı 1’dir.
25. Düzgün A 1 A 2 ...A 12 A 13 13­geninin merkezi O noktası olmak üzere, OA 1
üzerinde B 1 ,OA 2 üzerinde B 2 ,...,OA üzerinde B 13 noktaları,
13
|OB  | 1
= , (k =1, 2, ..., 13)
|OA  | k
sa˘ glanacak ¸sekilde alınmı¸stır. A 1 A 2 ...A 12 A 13 13­geninin alanına A ve
A − B
B 1 B 2 ...B 12 B 13 13­geninin alanına da B denilirse, oranı kaçtır?
A + B

 −  1 − 
Çözüm : =  ¸ seklinde yazılabilir. Buna göre, verilen ifade yalnız
 +   
1+

oranına ba˘ glı oldu˘ gundan, genelli˘ gi bozmadan,    +1 üçgenlerinin alanlarını 1
kabul edebiliriz. O halde,  =13 olur. Bu durumda,   üçgeninin alanını | |
ile göstermek üzere,
1 1 1 1
| 1  2 | =  | 2  3 | =    | 12  13 | =  | 13  1 | =
1 · 2 2 · 3 12 · 13 13 · 1
olur. Bunları toplarsak,
1 1 1 1 1
( 1  2  3  13 )= + + + ·· · + +
1 · 2 2 · 3 3 · 4 12 · 13 13 · 1
1 1 1 1 1 1 1
= − + − + ·· · + − +
1 2 2 3 12 13 13
=1
elde edilir. Böylece,

 −  13 − 1 6
= =
 +  13 + 1 7
elde edilir.