Page 315 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. Rakamları birbirinden farklı ve birbirinin ters sırada yazılı¸sı olan iki tane üç
basamaklı sayının toplamı olarak yazılabilen sayılara gizemli Sayı diyelim. Kaç
tane gizemli sayı vardır?
Çözüm :  +  = 101 ( + )+20 de˘ gerinin sonucunun kaç farklı ¸sekilde
bulunabilece˘ gini hesaplayaca˘ gız.

 +  =0 +  =1 +  =2 +  =18
durumları olamaz. O halde,  +  ∈ {3 4 5  17} olabilir. Yani, 17 − 3+1 = 15
de˘ ger alabilir. Di˘ ger yandan, ’nin alabilece˘ gi de˘ ger sayısı ise,  ve ’nin seçimine
ba˘ glı olarak 8 veya 10 olabilir.
i)  ve  için tek alternatif varsa,  rakamı yerine, 8 farklı rakam yazılabilir.  ve ’nin
tek alternatifi oldu˘ gu durumlar :
 +  =3 (1 ve 2) +  =4 (1ve3);
 +  =16 (7 ve 9) ve  +  =17 (8 ve 9)

durumlarıdır. O halde bu durumlar için, 4 · 8=32 gizemli sayı vardır.
ii)  ve  için birden fazla alternatif varsa,  rakamı yerine, 10 farklı rakam yazılabilir.
Örne˘ gin,  +  =5 için iki alternatif vardır. 1 ile 4 ve 2 ile 3. Her iki alternatif için de
 ∈ {0,5,6,7,8,9} olabilir ve aynı gizemli sayıları verirler. Bunun yanısıra, =14
iken,  yerine 2 ve 3, =23 iken de,  yerine 1 ve 4 yazmak mümkündür. Yani,
 tüm rakamlar olabilir. Bu ¸sekilde,  ve ’nin birden fazla alternatifi oldu˘ gu durum
sayısı 15 − 4=11 oldu˘ gundan, 11 · 10 = 110 gizemli sayı vardır.
Sonuç olarak, 110 + 32 = 142 gizemli sayı vardır.

13 +2
2. ifadesinin tamkare olmasını sa˘ glayan kaç n pozitif tamsayısı vardır?
3

13 +2

Çözüm : =  denilirse, 13 +2 = 3 olur. Buradan,
2
2
3
2
2
3 ≡ 2 (mod 13) veya  ≡ 5 (mod 13)
elde edilir. Fakat, bir sayının karesinin mod 13’te 5 kalanını vermedi˘ gi kolayca görü­
lebilir. Bir sayının karesinin 13’e bölümünden sadece, 0,1,4,9,3,12,10 kalanları elde
edilebilir. Yanıt : 0.
5
3. x +5y = z denkleminin pozitif tamsayılarda kaç çözümü vardır?
6
5
5
6
6
Çözüm :  =  alalım. Bu durumda, 6 =  elde edilir.  =6 alınırsa,  =6 5
+
bulunur. O halde, her  ∈ Z için,
¡ 6 6 5 ¢
(  )= 6  6  6
üçlsünün bir çözüm oldu˘ gu görülebilir. Buna göre, denklemin sonsuz pozitif tamsayı
çözümü vardır.