Page 317 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

316 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

6. 15 özde¸s matematik ve 5 özde¸s fizik kitabı, herhangi iki fizik kitabı arasında
en az iki matematik kitabı olması ko¸suluyla bir rafa kaç farklı ¸sekilde dizilebilir?
Çözüm : Be¸s fizik kitabını soldan sa˘ ga do˘ gru dizelim ve 1,2,3,4,5 olarak numa­
ralandıralım.1’incinin solundaki matematik kitaplarının sayısına  1ve2’incifizik
kitapları arasındaki matematik kitabı sayısına  2 ve 3’üncü fizik kitapları arasındaki
matematik kitabı sayısına  3 ve 4’üncü fizik kitapları arasındaki matematik kitabı
sayısına  4 ve 5’inci fizik kitapları arasındaki matematik kitabı sayısına  ve son
olarak 5’inci kitabın sa˘ gındaki matematik kitapları sayısına da  diyelim. Buna göre,
  ≥ 0 ve     ≥ 2 olmak ko¸suluyla,

 +  +  +  +  +  =15
denkleminin do˘ gal sayı çözümleri bize istenen dizilim sayısını verecektir. Ya da,
      ≥ 0 olmak ko¸suluyla,
 +  +  +  +  +  =7
denkleminin çözüm sayısını bulmalıyız. Yani, "7 özde¸snesne 6ki¸siye kaç farklı
¸ sekilde da˘ gıtılabilir" sorusunun cevabını arıyoruz. Bu ise
12!
= 792
5!7!
olur.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7. S =1 +2 +3 −4 −5 +6 +7 +8 −9 −10 + ·· · +101 +102 2
2
+103 −104 −105 toplamının 25’e bölümünden kalan kaçtır?
2
2
Çözüm : Verilen toplamı,
20 h
X 2 2 2 2 2 i
 = (5 +1) +(5 +2) +(5 +3) − (5 +4) − (5 +5)
=0
¸ seklinde yazalım.
2
2
(5 + ) ≡ 10 +  (mod 25)
oldu˘ gu kullanılırsa,
20
X
 ≡ [(10 +1) + (20 +4) + (30 +9) − (40 + 16)] (mod 25)
=0
20
X
≡ (20 − 2) (mod 25)
=0
20 · 21
≡ 20 · − 21 · 2 (mod 25)
2
≡ 200 · 21 − 21 · 2 (mod 25)
≡ 8 (mod 25)
elde edilir.