Page 316 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 315

4. |AB| = 15 |BC| = 18 ve |CA| = 21 olan ABC üçgeninin iç bölgesinden bir
D noktası alınıyor. [AD]  [BD] ve [CD]’nin orta noktaları sırasıyla E F ve G
olsun. [AF] ile [BE]’nin kesi¸simi H;[BG] ile [CF]’nin kesi¸simi K ve [CE] ile
[AG]’nin kesi¸simi de L ise, EHF KGL altıgeninin alanı nedir?
A
Çözüm :   ve  üçgenlerinin
a˘ gırlık merkezleri sırasıyla    nokta­
larıdır. A˘ gırlık merkezinin özelli˘ gi olarak, E
1 H L
Alan()= Alan();
3 D
1 F
Alan()= Alan(); G
3 B K C
1
Alan()= Alan()
3
e¸sitlikleri vardır. Bu e¸sitlikler taraf tarafa toplanırsa,
1
Alan()= Alan()
3
elde edilir. O halde, geriye Alan() de˘ gerini hesaplamak kaldı. Bunun için Heron
alan formülünü kullanaca˘ gız.  = (15 + 18 + 21) 2=27 oldu˘ gundan,
p √
Alan()= 27 (27 − 15) (27 − 18) (27 − 21) = 54 6
√
bulunur. O halde, Alan()= 18 6 olur.
5. Her x, y 6=0 için, x [f (xy) −f (x)] + f (−y) =0 ve f (2) =3 e¸sitliklerini
sa˘ glayan f fonksiyonu için, f (1/10) de˘ geri kaçtır?
Çözüm :  =1 yazalım. Bu durumda, her  6=0 için
( () −  (1)) +  (−)= 0
olur.  (1) =  ve  =  yazılırsa,
 ()+  (−)=  (1)
olur. ¸Simdi de, ilk denklemde  = −1 yazalım. Bu durumda,
 · ( (−) −  ()) +  (1) = 0
e¸sitli˘ ginden,
−
 (−) −  ()= (2)

bulunur. Böylece, (1) ve (2) denklemlerinden,
µ ¶
  1
2 ()=  + veya  ()= 1+
 2 
elde edilir.  (2) = 3 oldu˘ gundan,  =4 olur. Buradan,  (110) = 2 (1 + 10) = 22
bulunur.