Page 318 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 317

2
2
2
8. (x) =(x −x − 5)(x +2)(x +5x +3) fonksiyonunun grafi˘ gi üzerinden,
bir parabol üzerinde olacak biçimde altı tane nokta seçilirse, bu noktaların ap­
2
sislerinin kareleri toplamı kaç olur? (Parabol,  =  ++,  6=0 formundaki
e˘ grinin grafi˘ gidir).
2
Çözüm : Parabolün denklemi  =  ++ olsun. Buna göre,  () ile parabolün
ortak çözümü, yani
¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢ 2
 −  − 5  +2  +5 +3 =  +  + 
denkleminin kökleri istenen noktaların apsislerini verir. Bu denklem 6’ıncı dereceden
denklem oldu˘ gundan, bu denklemin köklerinin kareleri toplamını Vieta formülünü
kullanarak bulabiliriz.
2
2
2
 + ··· +  =( 1 +  2 + ··· +  6 ) − 2( 1  2 + ··· +  5  6 )
1 6
e¸sitli˘ gini kullanaca˘ gız. Yukarıdaki e¸sitlikten,
3
6
5
2
4
 +4 − 5 − 20 − (29 + )  − (56 + ) − (30 + )= 0
elde edilir. Buradan,
2
2
2
 + ··· +  =(−4) − 2(−5) = 26
1
6
bulunur.
¢
¡
Not :  () polinomu ile birlikte,  = − 33 +72 +30 parabolü alınırsa,
2
¡ 2 ¢¡ 2 ¢¡ 2 ¢ 2
 −  − 5  +2  +5 +3 +33 +72 +30 = 0
denkleminden,
 ( − 1) ( − 2) ( +4) ( +2) ( +1) = 0
oldu˘ gu görülür. Bu denklemin kökleri, parabol ile  ()’in kesi¸stikleri noktaların
apsislerini verir.
3
3
9. x −3x +6x +13 = 0 ve y +6y +15y +31 = 0 denklemlerini sa˘ glayan
2
2
x ve y reel sayıları için x − y kaçtır?
Çözüm :  − 3 +6 +13 = ( − 1) +3( − 1) + 17 ve
2
3
3
3
3
2
 +6 +15 +31 = ( +2) +3( +2)+17
¸ seklinde yazılabilir.  =  − 1 ve  =  +2 dönü¸sümü yapılır ve denklemler taraf
tarafa çıkarılırsa
3
3
 −  +3( − )= 0
¡ 2 2 ¢
( − )  +  +  +3 =0
elde edilir. Buradan,  −  =0 olur. Buna göre,
 − 1 −  − 2=0 ve  −  =3
olarak bulunur.