Page 319 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

318 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

N

√ √
10. Kenar uzunlukları 2 2 ve 7 2 olan
bir ABCD dikdörtgeninin çevresine, ¸sekil­ A D
deki gibi KLMN dikdörtgeni çiziliyor. K
KLMN dikdörtgeninin alanı kaç farklı
tamkare de˘ geri olabilir? M
B C

Çözüm : 1. Yol : ()=  olsun. Bu L N
b
durumda, x
()= ()= ()=  A α 90-α D
b
b
b
K
olacaktır. Buna göre, || =  ve || =  α y
√
√
denilirse,  =7 2sin  ve  =2 2cos  elde
edilir. Buradan, M
√ B α C
|| =  +  = 2(7sin  +2 cos ) 90-α
√
olur. Benzer ¸sekilde, || = 2(2sin  +7 cos )
olacaktır. O halde, L
¡ 2 2 ¢
 ()= |||| =2 14 sin  +14 cos  +53 sin  cos 
=28 + 53 sin 2

elde edilir. 0 ≤  ≤ oldu˘ gundan, 0 ≤ sin 2 ≤ 1 olur. O halde,
2
28 ≤  () ≤ 28 + 53 · 1=81
olur. Alan()  36 49 64 veya 81 tamkare de˘ gerleri olabilir.
2. Yol : Bu kez kenarları ¸sekildeki gibi

N harflendirelim.  +  =8’dir. Di˘ ger yan­
2
2
b a dan, üçgenlerin benzerli˘ ginden
  7
A 90-α √ = √ ⇒  = 
y α D 2 2 7 2 2
K   7
ve
α x √ = √ ⇒  = 
2 2 7 2 2
x
M oldu˘ gu bulunur. Buradan,
y
B α C
90-α  ()= ( + )( + )
µ ¶µ ¶
a 7 7
b = +  + 
L 2 2
7
= · 8+53
2
53 p
=28 +  8 −  2
4