Page 320 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2014 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 319

√ p
2
2
2
2
olur.  ()=  8 −  =  (8 −  ) ’nin maksimum de˘ gerini,  =4 nok­
tasında aldı˘ gı görülebilir. O halde,
53 p
28 ≤  () ≤ 28 + 4(8 − 4) = 81
4
elde edilir. Buna göre, alan 36 49 64 ve 81 olabilir.
11. x bir reel sayı ve
5 3 2 4
A (x) = (x +2) + (x +2) (x − 2) + (x +2)(x − 2) 
5 3 2 4
B (x) = (2 − x) + (2 − x) (2+ x) + (2 − x)(2+ x)
olmak üzere, A (x) = B (x) denkleminin çözüm sayısı kaçtır?
Çözüm :  −  =0 ifadesini ( +2) − ( − 2) = 4 ile çarparsak,
6 6
( +2) − ( − 2) =0
2
2
elde edilir. Bu ise, ( +2) =( − 2) veya  +2 = 2 −  durumunda mümkündür
ki, bu  =0 demektir. Yanıt : 1.
12. A = {1 2 3  18 19} ve B = {8 14 18} olmak üzere A\B kümesinin
elemanlarıyla, ardı¸sık iki sayı içermeyen kaç altküme olu¸sturulabilir?
Çözüm : 1. Yol :  kümesini, {1 2 3 7}  {9 10 11 12 13}{15 16 17}{19}
¸ seklinde dört kümeye ayıralım. {1 2  7} kümesinden ardı¸sık iki eleman olmayan
34 altküme seçilebilir.
∅;{1};{2};{3};{4};{5};{6};{7};{1 3};{1 4};{1 5};{1 6};{1 7};{2 4};{2 5};
{2 6};{2 7};{3 5};{3 6};{3 7};{4 6};{4 7};{5 7};{1 3 5};{1 3 6};{1 3 7};
{1 4 6} ; {1 4 7} ; {1 5 7} ; {2 4 6} ; {2 4 7} ; {2 5 7} ; {3 5 7} ; {1 3 5 7}
Benzer dü¸sünceyle, {9 10 11 12 13} kümesinden 13; {15 16 17} kümesinden 5 ve
{19} kümesinden 2 altküme seçilebilir. O halde istenen ¸sekilde, 34 · 13 · 5 · 2 = 4420
altküme vardır.
2. Yol :  = {1 2 3 4   − 1} kümesinin ardı¸sık sayı içermeyen tüm al­
tkümelerinin sayısını bulmak için genel formülü verelim.
 elemanlı  kümesinin iki tane ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısını
  ile gösterelim.  kümesinin tüm altkümelerini,  ve  − 1 elemanlarının olup
olmamasına göre sınıflandırabiliriz. Bunlar,
i) ’in olup  − 1’in olmadı˘ gı altkümeler : Bu durumdaki istenen altkümelerin sayısı,
iki tane ardı¸sık tam sayı içermeyenlerin sayısı {1 2   − 2}’nin iki tane ardı¸sık
tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısı kadardır. Yani  −2 ’dir.
ii) ’nin olmadı˘ gı altkümeler : Bu durumdaki, altkümelerden iki tane ardı¸sık tam sayı
içermeyenlerin sayısı {1 2   − 1} kümesinin iki tane ardı¸sık tamsayı içermeyen
altkümelerinin sayısı kadardır. Yani  −1 kadardır.