Page 321 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

320 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

Böylece, ’nın tüm altkümeleri bu iki sınıftan birinde yer alaca˘ gından,

 = {1 2 3 }
kümesinin iki tane ardı¸sık tam sayı içermeyen altkümelerinin sayısı,

  =  −1 +  −2
olacaktır. Buna göre,
={1} kümesinin ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümeleri, ∅ {1}’dir :  1 =2.
={1 2} kümesinin ardı¸sık tamsayı içermeyen altkümeleri ∅ {1}  {2}’dir :  2 =3
Böylece,

  =  −1 +  −2
e¸sitli˘ gi ve  1 =2 2 =3 kullanılarak istenilen  = {1 2  } kümesinin ardı¸sık
tamsayı içermeyen altkümelerinin sayısı bulunabilir.
Buna göre, istenen sonuç,  7 ·  5 ·  3 ·  1 =34 · 13 · 5 · 2 = 4420 bulunur.

13. 5 × 5 ¸seklindeki bir karenin, her 1 × 1 karesinin içine 11 1 8 8
1, 2, 4, 6, 8 rakamları yazılacaktır. Çift olan herhangi bir 44 2 2 1
rakamın yanyana ve çift sayıda bulunması ko¸suluyla, 5 × 5 11 1 1 1
karesi kaç farklı ¸sekilde doldurulabilir. (Çift olan herhangi bir
rakamın yukarıdan a¸sa˘ gıya çift sayıda olması gerekmiyor. Yan 66 6 6 1
tarafta bir örnek verilmi¸stir). 44 1 8 8

Çözüm : Çözümümüzü en genel halde yapalım. 1× ¸seklindeki ilk satırımızı alalım.
˙ Ilk satır  () farklı ¸sekilde doldurulsun. E˘ ger, soldan ilk birim karede 1 yazılmı¸ssa,
geri kalan  − 1 birim kare,  ( − 1) farklı ¸sekilde doldurulacaktır. E˘ ger, ilk kare 1
de˘ gilse, soldan ilk iki birim kare 22 44 66 veya 88 olabilir. Bu durumda, geri kalan
 − 2 birim kare,  ( − 2) farklı ¸sekilde doldurulur. Buna göre,
 ()=  ( − 1) + 4 ( − 2)
e¸sitli˘ gi elde edilir. Geriye,  =5 için çözümümüzü bulmak kalır.
¡ ¢
 (1) = 1 (2) = 5 1 1  2 2  4 4  6 6  8 8
oldu˘ gundan,
 (3) = 5 + 4 = 9
 (4) = 9 + 4 · 5=29
 (5) = 29 + 4 · 9=65
5
bulunur. O halde, 5 × 5 karemiz, 65 farklı ¸sekilde doldurulabilir.