Page 290 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 289
Ondalık yazılımında 3 ve 5 rakamları 9 rakamını içeren ve 3’e bölünen be¸s
bulunup; 0; 2 ve 4 rakamları bulunmayan kaç tane basamaklı kaç sayı vardır?
6 basamaklı sayı vardır?
10002 ile 99999 dahil aralarındaki tüm
0,2 ve 4 rakamları dı¸sında geriye kalan 7 sayıların sayısı
rakamla, 99999 10002
+ 1 = 30 000
6
7 tane 6 basamaklı sayı yazılabilir. 3
oldu˘ gundan, 3’e bölünen be¸s basamaklı 30.000 sayı
Bu sayıdan; 3 veya 5’in bulunmadı˘ gı sayıların sayısını
çıkarırsak istedi˘ gimizi buluruz. O halde; vardır. Bu sayıdan, 3’e bölünen, fakat 9’u içermeyen
6
3’ün bulunmadı˘ gı; 6 tane; sayıların sayısını çıkaraca˘ gız. Sayının ilk rakamı 0 ve
6
5’in bulunmadı˘ gı 6 tane ve 9 olamayaca˘ gından, ilk rakam yerine yazılabilecek
6
3 ve 5’in ikisinin de bulunmadı˘ gı 5 sayı rakam sayısı 8’dir. Kalan basamakların herbiri için 9
seçene˘ gimiz vardır. Fakat, 3 ile bölünme ko¸sulumuz
vardır.
oldu˘ gundan dolayı, son rakamın yerine yazılabilecek
Dolayısıyla; 3 veya 5’nin bulunmadı˘ gı sayıların sayısı,
rakamlar, ilk dört rakamın toplamına göre de˘ gi¸secektir.
6
6
6
6
6 + 6 5 = 2 6 5 6 Bunun için, ba¸stan ilk dört rakamın toplamına A
olur. Böylece; istenen ¸sekilde, diyelim.
6
6
7 2 6 + 5 6 A 0 (mod 3) ise, son rakam 0,3,6 olabilir.
A 1 (mod 3) ise, son rakam 2,5,8 olabilir.
tane 6 basamaklı sayı vardır.
A 2 (mod 3) ise, son rakam 1,4,7 olabilir.
Yani, her durum için de son basamak yerine
yazabilece˘ gimiz rakam sayısı 3’tür.
8 9 9 9 3
O halde, yukarıdaki kutucuklardan anla¸sılaca˘ gı üzere,
9 rakamını içermeyen ve 3 ile bölünen sayıların sayısı
3
8 9 3 olur. Sonuç olarak, 9 rakamını içeren ve 3 ile
Ondalık yazılımında 4 ve 7 rakamları bölünen sayıların sayısı
bulunup; 0 ve 8 rakamları bulunmayan kaç tane 10 n = 30000 8 9 3 = 12 504
3
basamaklı sayı vardır? (UMO - 1995)
olacaktır.

10
Yanıt : 8 10 2 7 10 + 6 :
Ondalık yazılımında ilki ve sonuncusu
dı¸sında her basama˘ gındaki rakamın; sa˘ g ve solundaki
iki rakamın toplamının 5 moduna göre denk oldu˘ gu
Ondalık yazılımında ilki ve sonuncusu
kaç tane 7 basamaklı sayı vardır? (U ˙ IMO - 1998)
dı¸sında her basama˘ gındaki rakam; sa˘ g ve solundaki
iki rakamın toplamına, 3 modunda denk olacak
¸ sekilde, rakamları 1,2,3,4,5,6 olan kaç tane 5
basamaklı sayı vardır?

abcde be¸s basamaklı sayısında, a yerine 6
rakam yazılabilir. b yerine de 6 rakam yazabiliriz. Bu
durumda;
a + c b (mod 3)
olaca˘ gından; c yerine 2 rakam yazabiliriz. (Örne˘ gin;
a = 2 ve b = 3 ise; c = 1 veya c = 4 olabilir.)
b ve c belirli iken; d yerine yine 2 rakam ve benzer
dü¸sünce ile e yerine de 2 rakam yazılabilir. Böylece;
Yanıt : 9 10 2 2 2 2 2 = 2880:
6 6 2 2 2 = 288 tane istenen ¸sekilde sayı vardır.