Page 285 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
284 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Bir Kaç Zor Problem
F Vieta Formülleri F

Kökleri x 1 ve x 2 olan ikinci dereceden bir denklemi,
n (173 + n) sayısı tamkare olacak ¸sekilde
(x x 1 ) (x x 2 ) = 0
kaç tane n pozitif tamsayısı vardır?
¸ seklinde yazabiliriz. Bu denklemi açarsak,
2
x (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 n ve 173 + n sayılarının ortak böleni
p olsun. Bu durumda; p bu iki sayının farkını da
e¸sitli˘ gi elde edilir. Bu denklemi,
bölmelidir. Buradan; p j 173 olaca˘ gından; p = 173
2
ax + bx + c = 0 elde edilir. Yani; n sayısı 173’e bölünebilmelidir.
k 2 Z için; n = 173k olsun. Buradan;
ile kar¸sıla¸stırırsak,
2
b c n (173 + n) = 173k (173 (k + 1)) = 173 k (k + 1)
x 1 + x 2 = ve x 1 x 2 =
a a elde edilir. k ve k + 1 ardı¸sık iki sayı oldu˘ gundan
elde edilir. çarpımları tamkare olamaz. Dolayısıyla; n (n + 173)
Benzer ¸sekilde, kökleri x 1 ; x 2 ; x 3 olan üçüncü derece- sayısı tamkare olamaz. O halde; n (173 + n)
den bir denklemi de, çarpımında her iki çarpım da tamkare olmalıdır.
2
(x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) = 0 n = u ve 173 + n = v 2
2
2
¸ seklinde yazmak mümkündür. Bu denklemi çarpıp diyelim. v u = 173 e¸sitli˘ ginden,
düzenlersek,
u + v = 173 ve v u = 1
3
2
x (x 1 + x 2 + x 3 ) x +
(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) x x 1 x 2 x 3 = 0 olur. Buradan da; v = 87 ve u = 86 elde edilir ve
2
n = 86 bulunur.
elde edilir. Bu denklemi,
2
3
ax + bx + cx + d = 0
ile kar¸sıla¸stırırsak,
b
x 1 + x 2 + x 3 =
a
c
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
a
d
x 1 x 2 x 3 =
a
2
4
elde edilir. 2p 7p + 1 sayısının; bir tamsayının
karesine e¸sit olmasını sa˘ glayan kaç p asal sayısı
vardır? (UMO - 2001)
A¸sa˘ gıdaki denklemler için Vieta p = 2 için;
2
4
formüllerini kullanınız. 2p 7p + 1 = 32 28 + 1 = 5
2
a) x + x 3 = 0 denklemi için, tamkare de˘ gildir.
i. x 1 + x 2 = ii. x 1 x 2 = 2p 7p + 1 = x 2
4
2
diyelim. Bu durumda,
1 1
iii. + = p 2 2p 7 = (x 1) (x + 1)

2
x 1 x 2
olur ve p 3 için; sol taraf tek sayı oldu˘ gundan
3
2
b) 2x 13x + 10x 2 = 0 denklemi için, (x 1) ile (x + 1) ardı¸sık iki tek sayı olmalıdır. Bu
i. x 1 + x 2 + x 3 = ii. x 1 x 2 x 3 = durumda, x 1 ve x + 1 aralarında asaldır. Di˘ ger
2
2
taraftan; p ile 2p 7 sayıları da aralarında asal
oldu˘ gundan; ve p 3 için
iii. x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
2
2
p < 2p 7
1 1 1 oldu˘ gundan;
iv. + + =
x 1 x 2 x 3 2 2
x 1 = p ve x + 1 = 2p 7
Yanıt : a) i. 1; ii. 3; iii. 1/3 b) i. 13/2, ii. 1, iii. 5, iv. 5.
2
olmalıdır. Buradan; p = 9 yani, p = 3 elde edilir. O
halde istenen ¸sekilde tek asal sayı p = 3 olur.