Page 287 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
286 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n
2 + 65 sayısının, bir tamsayının karesine Permütasyon
e¸sit olmasını sa˘ glayan en büyük n tamsayısı kaçtır?
(UMO - 2001)
F Permütasyon (Sıralama) F

Permütasyon; birbirinden ayrılabilir nesnelerin tekrar-
n
2 + 65 = x 2 lama olmaksızın sıralanmaları; yani; n tane nesnenin
olası düzenlemelerinin tümüdür. Örne˘ gin; A; B ve C
olsun.
harflerini sıralamak istersek;
6
n
2 + 2 = (x 1) (x + 1)
ABC; ACB; BCA; BAC; CAB; CBA
denklemine göre, n > 0 için, sol taraf çift oldu˘ gundan, sıralamalarını elde ederiz. Bu 6 sıralamadan farklı bir
denklemin sa˘ g tarafındaki
sıralama elde edilemez; i¸ste bu altı sıralama; fA; B; Cg
(x 1) (x + 1) kümesinin permütasyonlarıdır.
Tanım : r ve n pozitif do˘ gal sayılar ve r n olmak
ardı¸sık sayılarının çarpımı çift olmalı, bunun için x
üzere; n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r
teksayı olmalıdır. O halde, (x 1) ve (x + 1)’in ikisi
lilerine A kümesinin r li permütasyonları denir. Bu
de çift ve aralarındaki fark da 2 olmalıdır.
permütasyonları P (n; r) ile gösteririz ve; bu permütas-
n
(x 1) (x + 1) = 2 + 2 6 yonların sayısını
denkleminde, sa˘ g tarafın iki çift sayının çarpımı P(n; r) = n!
olabilmesi, sadece (n r)!
2 1 2 n 1 + 2 5 ; formülü ile buluruz.
2 2 2 n 2 + 2 4 ;
2 3 2 n 3 + 2 3 ;
2 4 2 n 4 + 2 2 veya 4 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabı
2 5 2 n 5 + 2 yan yana sıralanacaktır.
a) Kaç farklı ¸sekilde sıralanabilir?
durumlarında mümkündür. Bu durumlar arasında,
çarpanları arasındaki fark 2 olabilecek seçenekler b) Tüm matematik kitapları yanyana gelmek
sadece, ¸ sartıyla kaç farklı ¸sekilde sıralanır?
2 3 2 n 3 + 2 3 ve 2 5 2 n 5 + 2 c) Tüm fizik kitapları yanyana gelmemek ¸sartıyla
kaç farklı ¸sekilde sıralanabilir?
olur. Buna göre,
d) Herhangi iki matematik kitabı arasında bir

(x 1) (x + 1) = 2 3 2 n 3 + 2 3 fizik kitabı olması ko¸suluyla kaç farklı ¸sekilde
e¸sitli˘ ginden n 3 = 1 ve n = 4; sıralanabilir?
(x 1) (x + 1) = 2 5 2 n 5 + 2
e¸sitli˘ ginden n 5 = 5 ve n = 10 a) 7 kitap yan yana 7! farklı ¸sekilde sıralanır.
olabilir. O halde, denklemin sa˘ glayan en büyük pozitif b) Matematik kitapları 1 kitap gibi dü¸sünülürse 4
n de˘ geri 10 olarak bulunur. kitabın sıralanı¸sı söz konusu olur. 4 kitap yan yana
4! farklı ¸sekilde sıralanır: Ayrıca 4 matematik kitabı
kendi aralarında 4! farklı ¸sekilde sıralanır. Buna göre;
matematik kitapları yan yana gelmek ¸sartıyla 4! 4!
farklı ¸sekilde sıralama yapılabilir.
c) Tüm sıralamaların sayısı 7! den; fizik kitaplarının
yan yana geldi˘ gi sıralamaları çıkaralım. b)’de ki gibi;
fizik kitapları bir kitap gibi dü¸sünülerek; kitapları 5!
de˘ gi¸sik ¸sekilde; ve fizik kitaplarını da kendi arasında
3! de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralarız. Böylece; istenen sayı,
7! 5!3! olur.
d) 4 matematik kitabı 4! de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanabilir.
˙
Not : Ikinci ve üçüncü dereceden denklemler, 3 fizik kitabı matematik kitaplarının arasına
Vieta formülleri ve denklem sistemleri "Matematik yerle¸stirilerek, istenen ¸sekilde sıralama yapılır. Fizik
Olimpiyatlarına Hazırlık 4" kitabında detaylı kitapları da 3! de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanabilece˘ ginden,
incelenmi¸stir. toplam 3! 4! = 144 sıralama yapılabilinir.