Page 286 - 8_sf_Dahimatik
P. 286

˙
                                            ˙
                                       ˙
                                   DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım                  285
                 Dikdörtgenler prizması ¸seklinde bir
          kutunun boyutları asal sayıdır. Kenarlardan en az               8   11   n
                                                                         2 + 2  + 2
          biri iki basamaklı olmak üzere, bu kutunun alanı
          bir asal sayının kuvveti ise, bu kutunun hacmi en  ifadesi tamkare olacak ¸sekilde sadece 1 tane n
          fazla kaç olabilir?                           pozitif tamsayısının bulundu˘ gunu gösteriniz.
                                                        (Macaristan M.O. 1981)
                   Prizmanın boyutları x; y ve z olsun. Buna
                                   +
          göre, prizmanın alanı, bir k 2 Z için,
                      2 (xy + xz + yz) = p k                      8   11   8     3        4    2
                                                                 2 + 2  = 2  2 + 1 = 2  3
          olur. Sol taraf 2’ye bölünece˘ ginden, sa˘ g tarafta p = 2
                                                        oldu˘ gundan,
          asal sayısı olabilir. O halde,                             8   11   n     2   n
                       xy + xz + yz = 2 k 1                         2 + 2  + 2 = 48 + 2
          olmalıdır. Bu e¸sitlikte, x, y ve z sayıları asal  dir.
          oldu˘ gundan ve en küçük 2 olabilece˘ ginden sol taraf en     48 + 2 = x 2
                                                                          2
                                                                               n
          az, 12 olabilir. Yani, k en az 5 olmalıdır. Yani sa˘ g taraf
          bir çift sayıdır. x; y ve z’den üçü de tek olamaz, sadece  olacak ¸sekilde pozitif x tamsayılarını arıyoruz. Bu
          biri de çift olamaz. Çünkü, bu durumlarda, sol taraf tek  e¸sitli˘ ge göre,
          sayı olacaktır. O halde, en az ikisi çift olaca˘ gından, en  (x   48) (x + 48) = 2 n
          az ikisi 2 olmalıdır. x = y = 2 diyelim. Bu durumda,
                                                        biçiminde yazabiliriz. Bu durumda,
                       2z + 2z + 4 = 2 k 1
                                                                  (x   48)   ve    (x + 48)
          e¸sitli˘ ginden, z = 2 k 3    1 bulunur. 2 k 3    1 formunda
                                                        çarpanlarının her ikisi de 2’nin kuvveti olmalıdır.
          yazılabilen en büyük iki basamaklı asal sayıyı bulalım.
          k = 10 için sayı üç basamaklıdır ve k = 9 için, z = 63  (x + 48) = 2 m  ve (x   48) = 2 k
                               5
          asal de˘ gildir. k = 8 için, 2   1 = 31 kenarlardan biri  diyelim. Bu durumda, aralarındaki fark
          olabilir. O halde, kutunun hacmi en fazla,                     k     m k
                                                                        2  2      1
                          2 2 31 = 124
                                                        formundadır.
          olabilir.                                                                       5
                                                                 (x + 48)   (x   48) = 96 = 2 3
                                                        sayısı da bu formda olmalıdır. Bunu sa˘ glayan sayılar
                                                        sadece
                                                                        m = 7 ve k = 5
                 p; q asal sayılar olmak üzere;         sayılarıdır. O halde, x sayısı 80’dir ve bundan ba¸ska x
                                                        sayısı yoktur.
                     2   2           2   2
                 p p + 3q   1 = q q + 3p + 1
          e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (p; q) ikilisi vardır? (UMO -
          2006)


                                        2
                       2
                            2
                                             2
                    p p + 3q   1 = q q + 3p + 1
          e¸sitli˘ gi açılırsa;
                  3
                              2
                       2
                 p   3p q + 3pq   q 3  =  q + p;
                                  3
                            (p   q)  = (p + q)
          elde edilir. p   q = n denilirse,
                            3
                          n = 2q + n
          olur. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için; q sayısı n’ye
          bölünmeli veya n = 2 olmalıdır. q sayısı n’ye
          bölünürse; q asal oldu˘ gundan;
                       n = q veya n = 1
          elde edilir. Bu durumlarda ise; denklem sa˘ glanmaz.
          O halde n = 2 olmalıdır. n = 2 olursai 8 = 2q + 2
          e¸sitli˘ ginden q = 3 elde edilir. q = 3 ise p = 5 olur.
          Yani; sadece (5; 3) ikilisi sa˘ glar.
   281   282   283   284   285   286   287   288   289   290   291