Page 286 - 8_sf_Dahimatik
P. 286
˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 285
Dikdörtgenler prizması ¸seklinde bir
kutunun boyutları asal sayıdır. Kenarlardan en az 8 11 n
2 + 2 + 2
biri iki basamaklı olmak üzere, bu kutunun alanı
bir asal sayının kuvveti ise, bu kutunun hacmi en ifadesi tamkare olacak ¸sekilde sadece 1 tane n
fazla kaç olabilir? pozitif tamsayısının bulundu˘ gunu gösteriniz.
(Macaristan M.O. 1981)
Prizmanın boyutları x; y ve z olsun. Buna
+
göre, prizmanın alanı, bir k 2 Z için,
2 (xy + xz + yz) = p k 8 11 8 3 4 2
2 + 2 = 2 2 + 1 = 2 3
olur. Sol taraf 2’ye bölünece˘ ginden, sa˘ g tarafta p = 2
oldu˘ gundan,
asal sayısı olabilir. O halde, 8 11 n 2 n
xy + xz + yz = 2 k 1 2 + 2 + 2 = 48 + 2
olmalıdır. Bu e¸sitlikte, x, y ve z sayıları asal dir.
oldu˘ gundan ve en küçük 2 olabilece˘ ginden sol taraf en 48 + 2 = x 2
2
n
az, 12 olabilir. Yani, k en az 5 olmalıdır. Yani sa˘ g taraf
bir çift sayıdır. x; y ve z’den üçü de tek olamaz, sadece olacak ¸sekilde pozitif x tamsayılarını arıyoruz. Bu
biri de çift olamaz. Çünkü, bu durumlarda, sol taraf tek e¸sitli˘ ge göre,
sayı olacaktır. O halde, en az ikisi çift olaca˘ gından, en (x 48) (x + 48) = 2 n
az ikisi 2 olmalıdır. x = y = 2 diyelim. Bu durumda,
biçiminde yazabiliriz. Bu durumda,
2z + 2z + 4 = 2 k 1
(x 48) ve (x + 48)
e¸sitli˘ ginden, z = 2 k 3 1 bulunur. 2 k 3 1 formunda
çarpanlarının her ikisi de 2’nin kuvveti olmalıdır.
yazılabilen en büyük iki basamaklı asal sayıyı bulalım.
k = 10 için sayı üç basamaklıdır ve k = 9 için, z = 63 (x + 48) = 2 m ve (x 48) = 2 k
5
asal de˘ gildir. k = 8 için, 2 1 = 31 kenarlardan biri diyelim. Bu durumda, aralarındaki fark
olabilir. O halde, kutunun hacmi en fazla, k m k
2 2 1
2 2 31 = 124
formundadır.
olabilir. 5
(x + 48) (x 48) = 96 = 2 3
sayısı da bu formda olmalıdır. Bunu sa˘ glayan sayılar
sadece
m = 7 ve k = 5
p; q asal sayılar olmak üzere; sayılarıdır. O halde, x sayısı 80’dir ve bundan ba¸ska x
sayısı yoktur.
2 2 2 2
p p + 3q 1 = q q + 3p + 1
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (p; q) ikilisi vardır? (UMO -
2006)
2
2
2
2
p p + 3q 1 = q q + 3p + 1
e¸sitli˘ gi açılırsa;
3
2
2
p 3p q + 3pq q 3 = q + p;
3
(p q) = (p + q)
elde edilir. p q = n denilirse,
3
n = 2q + n
olur. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanması için; q sayısı n’ye
bölünmeli veya n = 2 olmalıdır. q sayısı n’ye
bölünürse; q asal oldu˘ gundan;
n = q veya n = 1
elde edilir. Bu durumlarda ise; denklem sa˘ glanmaz.
O halde n = 2 olmalıdır. n = 2 olursai 8 = 2q + 2
e¸sitli˘ ginden q = 3 elde edilir. q = 3 ise p = 5 olur.
Yani; sadece (5; 3) ikilisi sa˘ glar.