Page 298 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 297
2 kalecisi ve 14 oyuncusu olan 16 ki¸silik 9 ki¸si arasından 2’¸ser, 3’er veya 4’er
bir futbol takımında, sahaya çıkacak ilk 11 kaç ki¸siden olu¸san gruplar olu¸sturulacaktır. Bu 9 ki¸si
farklı ¸sekilde belirlenebilir? kaç farklı biçimde gruplara ayrılabilir?

2
1 kaleciyi, 2 kaleci arasından = 2 9 ki¸siyi, 2,2,2,3 veya 2,3,4 veya 3,3,3
1
farklı ¸sekilde, 10 oyuncuyu da 14 oyuncu arasından, ¸ seklinde gruplara ayırabiliriz. Buna göre, hangi grubu

14 = 1001 kaç farklı ¸sekilde belirleyece˘ gimizi bulalım.
10
farklı ¸sekilde seçebiliriz. O halde, sahaya çıkacak ilk
i) 2,2,2,3 ki¸silik grup için, 9 ki¸siden önce 3 ki¸siyi,
onbir, 2 1001 = 2002 farklı ¸sekilde seçilebilir.
9 = 84
3
farklı ¸sekilde seçebiliriz.

6
Geri kalan 6 ki¸siden 2 ki¸siyi, = 15;
2
4
sonraki 4 ki¸siden 2 ki¸siyi = 6 ve
2

2
son 2 ki¸siyi de = 1 farklı ¸sekilde belirleriz.
4 kız ve 5 erkekten, 3 ki¸si en az birinin kız 2
Fakat, 2 ki¸silik grupların kendi arasındaki de˘ gi¸smesi
olması ko¸suluyla kaç ¸sekilde seçilebilir?
farklı üç grup vermez. O halde, sonuç 3! = 6’ya
4
bölünmelidir. Böylece, 2,2,2,3 ki¸silik gruplara,
5
1 kız ve 2 erkek varsa, = 40;
1 2
4
5
84 15 6
2 kız ve 1 erkek varsa, 2 1 = 30; = 1260
6
4
3 kız varsa, = 4;
3 farklı ¸sekilde ayrılır.
oldu˘ gundan, 40 + 30 + 4 = 74 ¸sekilde seçilebilir. Ya
da, ii) 2,3,4 ki¸silik grup için, 9 ki¸siden önce 4 ki¸siyi,

9 5 = 74
9
3 3 = 126
4
¸ seklinde de bulabilirdik.
farklı ¸sekilde seçebiliriz. Geri kalan 5 ki¸siden 3 ki¸siyi,

5
3 = 10;

2
sonraki 2 ki¸siden 2 ki¸siyi 2 = 1 farklı ¸sekilde
33 farklı nesne; her ki¸siye 11’er belirleriz. Böylece, bu durum için,
nesne dü¸smek üzere; üç ki¸siye kaç farklı ¸sekilde
126 10 1 = 1260
payla¸stırılabilir? (UAMO - 1996)
farklı ¸sekilde gruplara ayrılır.
iii) 3,3,3 ki¸silik grup için, 9 ki¸siden önce 3 ki¸siyi,

9 = 84
3
farklı ¸sekilde seçeriz.
6

Geri kalan 6 ki¸siden 3 ki¸siyi, 3 = 20;
22

33
3
Yanıt : . sonraki 3 ki¸siden 3 ki¸siyi = 1 farklı ¸sekilde
11 11 3
belirleriz.
Fakat, 3 ki¸silik grupların kendi arasındaki de˘ gi¸smesi
farklı üç grup vermez. O halde, sonuç 3! = 6’ya
bölünmelidir. Bu durum için de,
Alper, Tu˘ gra ve Berk’in de aralarında
84 20
bulundu˘ gu 9 ki¸si arasından; aralarında Alper ve = 280
Tu˘ gra’nın bulundu˘ gu ve Berk’in bulunmadı˘ gı 5 6
farklı gruba ayrılır.
ki¸silik grup kaç farklı ¸sekilde seçilebilir?
Sonuç olarak,
Alper ve Tu˘ gra kesinlikle seçece˘ gimiz 1260 + 1260 + 280 = 2800
grupta olaca˘ gından; Alper ve Tu˘ gra haricindeki 7 ki¸si farklı grup seçilebilir.
arasından geri kalan 3 ki¸si seçilmelidir. Fakat; Berk’in
olmamasını istedi˘ gimiz için; Berk haricindeki 6 ki¸siden
3 ki¸si seçilmelidir. Buna göre;

6 6!
C (6; 3) = = = 20
3 3!3!
de˘ gi¸sik grup seçilebilir.