Page 302 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 301
10 farklı kitap üç raflı bir kitaplı˘ ga; a; b; c; d 2 f0; 2; 3g ve x; y 2 f1; 2g
oldu˘ guna göre,
hiçbir raf bo¸s kalmayacak biçimde kaç farklı ¸sekilde
yerle¸stirilebilir? (UMO - 2007) a + b + c + d = x + y + 5
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (a; b; c; d; x; y) altılısı vardır?

a + b + c + d = x + y + 5
e¸sitli˘ ginde,
Yanıt : 36 10!. i) Sa˘ g taraf x = y = 1 ise, a + b + c + d = 7 olur.
2 + 2 + 3 + 0 = 7
oldu˘ gundan, a; b; c; d’nin ikisinin 2, birinin 3 olması
durumunda mümkündür.

4
3 için, a; b; c; d’den biri = 4 de˘ gi¸sik ¸sekilde
1
seçilir.

3
2 için, ikisi de = 3 de˘ gi¸sik ¸sekilde seçilir.
2
Yani, 4 3 = 12 farklı (a; b; c; d) bulunabilir.
ii) Sa˘ g taraf x = 1; y = 2 ise, a + b + c + d = 8 olur.
3 + 3 + 2 + 0 = 8 veya 2 + 2 + 2 + 2 = 8
oldu˘ gundan, a; b; c; d’nin ikisinin 3, birinin 2 olması
10 ¸sekeri olan Alp; her gün en az bir
durumunda veya tamamının 2 olması durumunda
¸ seker yiyorsa; ¸sekerlerinin tümünü günlere da˘ gılımı
mümkündür. i)’de oldu˘ gu gibi, birinin 2 ve di˘ gerinin 3
itibariyle kaç de˘ gi¸sik biçimde yiyebilir? (UMO -
2006) oldu˘ gu 12 çözüm vardır. Tamamının 2 oldu˘ gu da tek
durum vardır. O halde, bu durum için, 13 çözüm altılısı
bulunur.
10 ¸sekeri
iii) Sa˘ g taraf x = 2; y = 1 ise, ii)’deki gibi yine 13
s s s s s s s s s s
farklı ¸sekilde altılı elde edilir.
gibi sıralayalım. ¸Seker aralarına çubuk koyarak günleri iv) Sa˘ g taraf x = y = 2 ise, a + b + c + d = 9 olur. Bu
ayıralım. Böylece; kaç günde kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde durum,
yiyece˘ gini hesaplayalım. 2 + 2 + 2 + 3 = 9 veya 3 + 3 + 3 + 0 = 9
¸ Sekerleri; 10 günde yer ise; ¸sekerlerin arasındaki
iken mümkündür.
9 bo¸slu˘ ga da çubuk koyulmalıdır. 9 çubuk 9 bo¸slu˘ ga
4
3 için, dört bilinmeyenden biri = 4 ¸sekilde
9
tek ¸sekilde yerle¸stirilir. Yani; Alp; 10 günde = 1 1
9 seçilir. Geri kalanlar da 2 olur.
de˘ gi¸sik ¸sekilde yiyebilir.
Yine, 0 için, dört bilinmeyenden biri 4 ¸sekilde
s j s j s j s j s j s j s j s j s j s: seçilir.
Alp 9 günde yer ise; 8 çubuk yeterlidir ve 8 çubuk O halde, bu durum için 8 farklı altılı elde edilir.

9
9 bo¸slu˘ ga de˘ gi¸sik ¸sekilde yerle¸stirilir. Örne˘ gin, Sonuç olarak, 12 + 13 + 13 + 8 = 46 tane
8
(a; b; c; d; x; y) altılısı vardır.
s j s s j s j s j s j s j s j s j s:
Alp 8 günde yer ise; 7 çubuk yeterlidir ve 7 çubuk
9

9 bo¸slu˘ ga de˘ gi¸sik ¸sekilde yerle¸stirilir.
7 x 1 = 8; x 9 = 4 ve x 2 ; x 3 ; :::; x 8 sayıları
.
. f0; 2g kümesinin elemanları olmak üzere;
.
Alp 2 günde yer ise; 1 çubuk yeterlidir ve 9 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9

9
bo¸slu˘ ga 1 çubuk de˘ gi¸sik ¸sekilde yerle¸stirilir.
1 e¸sitli˘ gi sa˘ glayan kaç tane (x 1 ; x 2 ; :::; x 9 ) dokuzlusu
9

Alp 1 günde yer ise; çubuk gerekli de˘ gildir
0 vardır?
de˘ gi¸sik ¸sekilde yiyebilir.
Böylece; Alp; ¸sekerleri

9 + 9 + 9 + + 9 + 9
0 1 2 8 9
de˘ gi¸sik biçimde yiyebilir. Binom açılımı göz önüne
alınırsa (Bknz. Binom Açılımı.);

9 + 9 + 9 + + 9 + 9 = 2 = 512
9
0 1 2 8 9
Yanıt : 21.
bulunur.