Page 103 - og_2_olimpiyat

Örnek Aşağıdakilerden hangisi tam sayı katsayılı ikinci dereceden bir denkleminin diskrimi-
12
nantı olamaz?
(UMO - 2000) 4. Bölüm

A) 23 B) 24 C) 25 D) 28 E) 33

a, b ve c birer tam sayı olmak üzere ax + bx + c = 0 denkleminde b - 4ac işlemi ile diskriminant
2
2
Çözüm
2
bulunduğu için burada bir tam karenin (b tek ise b sayısı 4 ün tam katının 1 fazlası, b çift ise b
2
sayısı 4 ün tam katıdır) alabileceği değeri hatırlamalıyız. Sonuç olarak b - 4ac işlemi 4k + 1 ya da
2
4k biçiminde olmalıdır. Buna göre 23 sayısı 4k + 3 biçiminde olduğu için tam sayı katsayılı ikinci
dereceden bir denkleminin diskriminantı olamaz.
Cevap: A
Örnek
2
13 x - 4x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

Denklemi tam kareye dönüştürerek kökleri elde edebileceğimiz gibi bu yöntemin kural haline 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Çözüm
2
getirilmiş biçimi ile kökleri bulalım. Buna göre önce diskriminantı bulalım. ∆ = (-4) - 4 . 1 . 2 den
(
(
∆ = 8 olur. Bu durumda kökler, x = −− 4 +) 8 den x = 2 +ñ2 ve x = −− 4 −) 8 den
2
.
1 21 . 1 21
x = 2 -ñ2 olur.
2
Örnek
14 Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz.
a) x + 3x + 1 = 0 b) x - 5x + 3 = 0 c) 3x - x - 5 = 0
2
2
2
Kendi bulduklarınla karşılaştırman için her denkleme ait ayrı ayrı işlemler ile kökleri bulmak yerine
Çözüm
sadece denklemlerin diskriminantlarını ve köklerini vereyim;
-3 + ñ5 -3 - ñ5
a) ∆ = 5 den kökler x = ve x =
1 2 2 2
5 + ò13 5 - ò13
b) ∆ = 13 den kökler x = ve x =
1 2 2 2
1 + ò61 1 - ò61
c) ∆ = 61 den kökler x = ve x =
1 6 2 6

Örnek
2
15 x - 2x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

2
Denklemin diskriminantı ∆ = (-2) - 4.1.3 den ∆ = -8 olur. Bu durumda kökleri bulmak için yapa-
Çözüm
−− 2 +−) 8
(
cağımız işlemlerde mesela x = de − 8 reel sayı olmadığından denklemin kökleri
1 21
.
reel sayı değildir. Buna göre denklemin çözüm kümesi boş kümedir. Genel olarak diskriminantı
negatif olan tüm 2. dereceden denklemlerin kökleri reel değildir.
ALTIN NOKTA 103