Page 107 - og_2_olimpiyat

Örnek 2
24 x + bx + c = 0 denkleminin her iki kökü de tam sayı olup, b + c = 306 ise, bu köklerden
küçük olanı kaç farklı değer alabilir?
(UİMO - 2005) 4. Bölüm

A) 1 B)2 C) 3 D) Sonsuz çoklukta E) Hiçbiri

Çözüm Denklemin kökleri x ve x olmak üzere kökler toplamı x + x = -b ve kökler çarpımı x . x = c dir.
1
2
2
2
1
1
Buna göre -x - x + x . x = 306 eşitliğinden (küçük kök x alalım) köklerden küçük olanı
1 2 1 2 1
x + 306 307
x . (x - 1) = 306 + x den x = 2 eşitliğini sağlar. x =+ eşitliğinin sağlanması için
1
1 2 2 1 x − 1 1 x − 1
2
2
(307 asal sayı olduğundan) ya x - 1 = -1 ya da x - 1 = 307 olmalıdır. Sonuç olarak, (-306, 0)
2 2
ve (2, 308) biçimindeki (x , x ) ikililer için denklemin köklerinden küçük olanı (-306 ve 2) 2 farklı
1 2
değer alabilir. 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Cevap: B
Örnek
2
2
2
25 2x - 5x + p + q = 0 denkleminin, kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaç-
tır?
(ÖYS - 1989)
A) 17 B) 9 C) 1 D) 0 E) –1

2
Çözüm Denklemden hareketle kökler çarpımı p . q = p + q 2 olur. Bu durumda içler dışlar çarpımı ile
2
2
2
2
2
2 . p . q = p + q elde edilir. Buna göre p + q - 2 . p . q = (p - q) = 0 dan p - q = 0 ve p = q olur.
2
p = q olması köklerin eşit olduğu bir denklemi gösterdiğine göre denklemin diskriminantı ∆ = 0 dır.
Cevap: D
Örnek
2
26 Rasyonel katsayılı, x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri ñ5 - 2 olduğuna göre
b . c çarpımı kaçtır?

−+ ∆ −− ∆
b
b
Denklemin katsayıları rasyonel olup kökler x = ve x = işlemleri ile bulunduğu-
Çözüm 1 2 a 2 2 a
nu biliyorsun. Buna göre, ñ5 - 2 kökündeki ñ5 değeri, işlemde bulunan ∓ ∅ ñ∆ ile elde edilebileceği
için denklemin diğer kökü de -ñ5 - 2 olmalıdır. Bu durumda denklemin kökler toplamı
ñ5 - 2 - ñ5 - 2 = -4 ve kökler çarpımı (ñ5 - 2) (-ñ5 - 2) = - 5 + 4 = -1 olduğu için denklem

x + 4x - 1 = 0 biçiminde olup b = 4 ve c = -1 den b . c = -4 tür.
2

ALTIN NOKTA 107