Page 104 - og_2_olimpiyat
P. 104
Diskriminant (∆ Delta) ile ilgili aşağıdaki ekrana yansıyacak olanları keşfetmek çok kolay. Çünkü
denklemlerin köklerini bulmak için işlem yapıldığında karşılaşılan durumlar bu sonuçları zorunlu
olarak gerektirir.
ax + bx + c = 0 biçimindeki 2. dereceden denklemde ∆ = b - 4ac için;
2
2
4. Bölüm
∆ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
∆ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır.
∆ = 0 ise denklemin eşit (çakışık ya da çift katlı) iki reel kökü vardır ve denklem bir tam karedir.
Örnek
2
16 3x + (a + 2)x + 3 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olmasını sağlayan a değerleri çar-
pımı kaçtır?
Denklemin eşit (çakışık) iki kökünün olması, bir tam kare ifade olduğunu ve diskriminantının sıfır
Çözüm
(∆ = 0) olduğunu gösterir. Buna göre, (a +2) - 4.3.3 = 0 eşitliğini (a +2 ) = 36 şeklinde düzenleye-
2
2
lim. Bu durumda a + 2 = 6 dan a = 4 ve a + 2 = -6 dan a = -8 bulunur. Denklemin eşit iki kökünün
olmasını sağlayan a değerleri çarpımı -8.4 = -32 dir.
Örnek 2 y
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
17 Aşağıdaki (A, B) ikililerinden hangisi için, x + xy = A ve = B denklem sisteminin
x
gerçel çözümü yoktur?
(UİMO - 2010)
1 1
A) (1, -2) B) (ñ3, 1) C) (1, 0) D) , - E) (-2, - 2)
3 2
y
2
Çözüm x = B den y = Bx dir. İlk eşitlikte, y yerine Bx yazalım. Bu durumda x + xBx = A olur. Buna göre
(B + 1)x - A = 0 ikinci dereceden denklemini sağlayan hiçbir gerçel kök olmamalıdır. Bunun için
2
denklemin diskriminantı negatif olmalıdır. Buna göre ∆ = 0 - 4.(B + 1).(- A) < 0 olup düzenlediği-
2
mizde A . B + A < 0 elde edilir. Seçenekler incelendiğinde sadece A seçeneği için A . B + A < 0 nın
sağlandığı görülüyor. Sonuç olarak (1, -2) ikilisi için denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur.
Cevap: A
Örnek Aşağıdaki hangi (A, B) ikilisi için, 2x + y = A ve x + y = B eşitliklerini sağlayan hiçbir
2
2
18
(x, y) gerçel sayı ikilisi yoktur?
(UİMO - 2011)
5 9 2 4 1 9 2 6
A) , B) 1, C) , D) , E) 2,
2 7 9 3 3 5 3 7
104 ALTIN NOKTA
