Page 105 - og_2_olimpiyat

Çözüm 2x + y = A eşitliğinden y = A - 2x olur. Bunu ikinci eşitlikte yazıp x e bağlı bir denklem elde edelim.
2
2
2
2
x + (A - 2x) = B den düzenleyerek 5x - 4Ax + A - B = 0 ikinci dereceden denklemi için eşitliği
sağlayan hiçbir x dolayısı ile (x, y) ikilisi olmaması için diskriminantın negatif olması gerekir. Buna 4. Bölüm
2
göre ∆ = 16A - 4 . 5 . (A - B) < 0 olup sadeleştirerek düzenlendiğinde 5B < A elde edilir. Seçe-
2
2
 4 1
2
nekler incelendiğinde a, b, d ve e seçenekleri için 5B < A sağlanmadığı görülüyor.  ,  ikilisi
 3 3 
1  4  2
için ( 5. <   eşitsizlik sağlandığından) verilen eşitlikleri sağlayan hiçbir (x, y) ikilisi yoktur.
3  3 
Cevap: C
Şimdi de kökleri bulmaya gerek kalmadan bir 2. dereceden denklemin katsayıları kullanılarak kökler
toplamı, kökler farkının mutlak değeri, kökler çarpımını keşfedelim.
ax + bx + c = 0 biçimindeki 2. dereceden denklemde ∆ = b - 4ac için denklemin köklerinin
2
2
b
b
−+ ∆ −− ∆
x = 2 a ve x = 2 a olduğunu biliyorsun. Buna göre denklemin kökleri toplamı
2
1
−+ ∆ −− ∆ b
b
b
x + x = + dan x + x = − olur. Denklemin kökleri farkının mutlak değeri de
1 2 1 2 a 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
2. a 2. a
−+ ∆ −− ∆ ∆
b
b
x − x = − dan x − x = olarak bulunur. Son olarak denklemin kökler çarpımı
1
2
2. a 2. a 1 2 a
−+ ∆− b−∆ b −∆ b − b + 4 ac c
2
b
2
2
xx = . ile xx. = dan ∆ = b - 4ac olduğu için xx. = ve xx. 2 =
.
2
1
2
1
2. a 2. a 1 2 4. a 2 1 2 4. a 2 a
olur.

Bütün bunlar ne anlama geliyor? Şu anlama geliyor: 2. dereceden bir denklemin köklerini bulmana gerek
kalmadan (denklemin katsayıları kullanılarak) kökleri ile ilgili bir kısım işlemlerin sonuçlarını keşfedebilir-
sin. Bu tür örneklere başlarken, keşfettiğin temel sonuçları bir araya getirelim.
a, b, c∈ ve a ≠ 0 için ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere
2
1 2
b c ∆
x + x = − xx = x − x =
.
1
2
1
2
a 1 2 a a
Örnek
2
19 x + 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, aşağıdakilerin sonucu kaçtır?
1
2
1 1
a) + b) x . x + x . x 2 2 c) x + x 2 2
2
2
2
1
1
1
x 1 x 2
Çözüm İşlemlerin sonucunu bulmak için x + x =− 3 = -3 ve xx. 2 = − 2 = -2 den yararlanacağız.
1
2
1
1 1
1 1 x + x 1 1 − 3 3
a) + = 1 2 olduğu için + = den işlemin sonucu dir.
x 1 x 2 xx . 2 x 1 x 2 − 2 2
1
2
2

2
b) x . x + x .x = x . x . (x + x ) olduğu için x . x + x . x = (-2)(-3) den sonuç 6 dır.
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
c) x + x = (x + x ) - 2.x . x olduğu için x + x = (-3) - 2.(-2) den sonuç 13 tür.
2
2
2
2
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
ALTIN NOKTA 105