Page 108 - og_2_olimpiyat

Örnek x ve x sayıları ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri, x 1 x 2 sayıları da
2
27 1 2 x 2 ve x 1
Ax + Bx + 1 = 0 denkleminin kökleri ise B nedir?
2
(UİMO - 2000)

ab 2 b 2 b 2 b 2 b 2
A) 2 - B) - 2 C) 2 - D) 2 - E) - 2
c c ac c ac
4. Bölüm

b c
Çözüm Birinci denklemden kökler toplamı x + x = − a ve kökler çarpımı xx. 2 = a dır. İkinci denklem-
1
1
2
x x 1 x x B
de kökler çarpımı 1 . 2 = olup A = 1 dir. Kökler toplamı ise 1 + 2 = − ve
x 2 x 1 A x 2 x 1 1
 − b  2 − 2. c
1 (
2
x
xx
x x B x + ) − 2..   a   a
1 + 2 = − dan 2 1 2 = -B olup = -B dir.
x 2 x 1 1 xx 2 c
.
1
a
2
2
a
c a
Buna göre, b . - 2. . = - B den B = 2 - b dir.
a 2 c a c ac Cevap: C
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Örnek
2
2
28 x + kx + 7 = 0 ve x - kx + 7 = 0 denklemleri veriliyor. İkinci denklemin köklerinin birinci
denklemin köklerinden 3 er fazla olmasını sağlayan k değeri kaç olmalıdır?

İlk denklemin kökler toplamı -k ve ikinci denklemin kökler toplamı k olup ilk toplamdan 6 fazla
Çözüm
olması gerektiği için - k + 6 = k dır. Buna göre 2k = 6 ve k = 3 olur.

Örnek
2
29 Kökleri x ve x olan 2. dereceden denklem x - 2x - 10 = 0 olduğuna göre, kökleri
1
2
x + 3 ve x + 3 olan 2. dereceden denklem ne olabilir?
1 2

Denklemden kökler toplamı x + x = 2 ve kökler çarpımı x . x = -10 bulunur. Benzer biçimde,
Çözüm 1 2 1 2
aradığımız denklemin kökler toplamının ve çarpımının değerlerini bularak istenene ulaşabiliriz.
Buna göre, aranan denklemin kökler toplamı x + 3 + x + 3 = 8 ve denklemin kökler çarpımı
1 2
(x + 3).(x + 3) = x . x + 3.( x + x ) + 9 = 5 tir. Buna göre kökleri x + 3 ve x + 3 olan denklem
1 2 1 2 1 2 1 2
x - 8x + 5 = 0 olabilir?
2

108 ALTIN NOKTA