Page 109 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
2
30 x - ax + b = 0 denkleminin bir kökü 1 ve 2x + cx + b - 3 = 0 denkleminin bir kökü 2 dir.
Bu denklemlerin diğer kökleri eşit olduğuna göre a + c toplamı kaça eşittir? 4. Bölüm

Denklemlerin eşit olan kökü x olsun. Bu durumda denklemlerin kökler çarpımlarından yararlana-
Çözüm 1
rak; 1. x = b ve 2 . x = b-3 olur. Bu iki eşitlikten hareketle (ikinci eşitliği içler dışlar çarpımı ve
1 1
2
b yerine x yazarak düzenlediğinde) 4. x = x - 3 ile 3. x = -3 ve x = b = -1 bulunur. Buna göre
1 1 1 1 1
denklemler x - ax - 1 = 0 ve 2x + cx - 1 - 3 = 0 olup denklemlerin kökleri denklemi sağlayacağı
2
2
için; 1 - a -1 = 0 dan a = 0 ve ikinci denklem için 2 . 2 + 2c - 4 = 0 dan c = -2 olup a + c toplamı
2
2
-2 dir.
Örnek 2
31 a bir gerçel sayı; x ve x , x + ax + 2 = x denkleminin farklı iki kökü; x ve x de
4
3
1
2
2
(x - a) + a(x - a) + 2 = x denkleminin farklı iki kökü olmak üzere,
x - x = 3(x - x ) ise x - x nedir?
3 1 4 2 4 2
(UMO - 2009) 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
a a 2a 3a
A) B ) C ) D) E) Hiçbiri
2 3 3 2
2
Çözüm Birinci denklem x + (a - 1)x + 2 = 0 olup kökler toplamı x + x = 1 - a dır. İkinci denklem
1
2
2
x - 2ax + a + ax - a - x + 2 = 0 dan x + (-a - 1)x + 2 = 0 olup kökler toplamı x + x = 1 + a
2
2
2
3 4
dır. x + x = 1 - a ile çıkarılırsa x - x + x - x = 2a bulunur. x - x = 3(x - x ) olduğu için yerine
1 2 3 1 4 2 3 1 4 2
a
yazalım. Buna göre, 3(x - x ) + x - x = 2a den 4(x - x ) = 2a olup x - x = dir.
4 2 4 2 4 2 4 2 2
Cevap: A

ALTIN NOKTA 109