Page 139 - og_2_olimpiyat

Eveet şimdi diziler başlıyoor.
f(n) = a biçiminde göstereceğimiz kurala sahip özel fonksiyonlara dizi diyoruz. 'Özelliğini nereden alı-
n
yor?' diye sorarsan, şu iki duruma dikkat et derim;
• Diğer fonksiyonlardan farklı olarak burada kullanılan ham madde (yani n) sadece pozitif tam 5. Bölüm
sayılardan oluşmaktadır. Aynı zamanda her tam sayı için elde edilecek ürün sıralı bir biçimde listelen-
mektedir.
f(1) = a dizinin 1. terimi
1
f(2) = a dizinin 2. terimi
2
f(3) = a dizinin 3. terimi
3
. . .
f(n) = a dizinin n. terimi ya da diğer bir söylenişle dizinin genel terimidir.
n
Genel terimi a olan (a ) dizisi (a ) = (a , a , a ,..., a ,...) biçimindedir. Aksi söylenmediği sürece her
1
n
3
n
2
n
n
bir diziyi reel(gerçel) sayı dizisi olarak kullanacağız.
Örnek
9 Bir sayı dizisinin birinci terimi 20 dir. Bundan sonraki her terim kendisinden bir önceki
terimin karesinin rakamları toplamına 1 eklenerek elde ediliyor. Bu dizinin yüzüncü
terimi nedir?
(UMO - 1995)
A) 5 B) 7 C) 8 D) 11 E) 14 DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)

Çözüm Dizinin a = 20 olan birinci teriminin karesinin rakamlar toplamına 1 eklenerek ikinci terimini
1
(20 = 400, 4 + 0 + 0 + 1 = 5) a = 5 buluruz. Benzer biçimde ikinci terimin karesinin rakamlar
2
2
2
toplamının 1 fazlası (5 = 25, 2 + 5 + 1 = 8) için a = 8 ve devamında
3
2
a = 11 (8 = 64, 6 + 4 + 1 = 11), a = 5 (11 = 121, 1 + 2 + 1 + 1 = 5) bulunur. Bu durumda Birinci
2
4 5
terim dışında diğer terimler için a = 5, a = 8, a = 11 (k = 1, 2, 3, . . . ) dir.
3k+2 3k 3k+1
Sonuç olarak k = 33 için a = 11 den dizinin 100. terimi a = 11 dir.
3.33+1 100
Cevap: D
Örnek
10 Doğal sayılardan tam karelerin atılması ile elde edilen 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, . . . dizisi-
nin 1994 üncü terimi nedir?
(UMO - 1994)
A) 2036 B) 2037 C) 2038 D) 2039 E) 2040

Çözüm Dizi 1, 2, 3, 4 , . . . , 1994, 1995, 1996, 1997, . . . biçiminde doğal sayılardan oluşan bir dizi olsaydı
2
1994. terim 1994 olacaktı. Ancak 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 44 = 1996 sayılarının (44 terim) doğal sa-
yılardan atılması ile elde edilen dizinin 1994. terimini bulmak için 1994 terimine 44 adet terim ek-
lenmelidir. Buna göre, 1994. terim 1994 + 44 = 2038 olurdu. Ancak eklenen terimler 1995, 1996,
1997, . . . , 2038 arasında bir tane daha tam kare sayı (45 = 2025) olup bu tam kare de atılacağı
2
için elde edilen 2, 3, 5, 6, 7, . . . dizisinin 1994. terimi 2039 dur.
Cevap: D

ALTIN NOKTA 139