Page 142 - og_2_olimpiyat

Örnek 5 n −13
17 Genel terimi a = olan dizinin kaç terimi tam sayıdır?
n
n + 7

Bu kadar Örnek ile karşılaşınca sanırım zihinler eskilere gidiyordur. Aslında önceden keşfettiğimiz
Çözüm
bilgiler gezintinin bu bölümünde daha çok işimize yarıyor. İşte bu örnekte biraz daha geriye, ilk
5. Bölüm
gezide keşfedilen yönteme gideceğiz. 5n − 13 = 5n + 35 − 48 olarak yazılabilir.
n + 7 n + 7 n + 7
Bu durumda 5 − 48 biçiminde olan genel terim ile tam sayı elde etmek için n + 7 ifadesi 48 in
n + 7
bir tam böleni olmalıdır. Buna göre, n değerinin pozitif tam sayı olma şartı da dikkate alındığında
n + 7 = 8, n + 7 = 12, n + 7 = 16, n + 7 = 24 ve n + 7 = 48 eşitlikleri kullanılarak dizinin 5 terimi
(1., 5., 9., 17. ve 41. terimleri) tam sayıdır.

Örnek
18 On iki terimli bir sayı dizisinin ilk terimi 12, son terimi 21 dir. Bu dizinin ardışık numaralı
her üç teriminin toplamı 121 ise sekizinci terimi kaçtır?
(UİMO - 1999)

A) 12 B) 21 C) 88 D) 91 E) Veriler yetersizdir

Çözüm İlk terim 12, ikinci terim x olmak üzere (her üç terim toplamı 121 olduğu için 12 + x + a = 121 den)
3
üçüncü terim a = 109 - x tir. İkinci, üçüncü ve 4. terimlerin toplamı da 121 olacağı için
3
x + 109 - x + a = 121 den a = 12 olur. Buna göre (üçüncü dördüncü ve beşinci terimlerin top-
4 4
lamının 121 etmesi nedeniyle a = x) bir döngü elde edilip 1., 4., 7. ve 10. terimler 12 dir. Diğer
3
yandan 2., 5., 8. ve 11. terimler x ve son olarak 3., 6., 9. ve 12. terimler 109 - x olur. Bu durumda
son terim a = 109 - x = 21 olup x = 109 - 21 = 88 den sayı dizisinin sekizinci terimi 88 dir.
12
DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
Cevap: C
Örnek 4 n −1
19 Genel terimi a = olan dizinin kaç terimi 3 ten büyüktür?
n
2 n −15

Hangi n pozitif tam sayıları için 4n − 1 > 3 eşitsizliğinin sağlanacağına bakmalıyız. Önce eşit-
Çözüm
2n − 15
4n − 1 4n − 1 6n − 45 − 2n + 44
sizliği düzenleyelim, − 3 > 0 dan − > 0 ve > 0 elde edilir. Bu
2n − 15 2n − 15 2n − 15 2n − 15
15
eşitsizliğin kritik değerleri n = 22 ve n = dir. İşaret incelemesini gösteren bir tablo oluşturalım;
2
15
n değerleri -∞ 2 22 ∞
−2n + 44 - + -
2n −15 Dizinin genel teriminde kullanıldığında
3 ten büyük sayı bulunmasını sağlayan n değerleri 15 < n < 22 aralığındadır. Sonuç olarak dizi-
2
nin, 8., 9., 10., . . . , 21. terimleri olmak üzere, 14 terimi 3 ten büyüktür.

142 ALTIN NOKTA