Page 143 - og_2_olimpiyat

Örnek a , a , ..., a ,... pozitif tam sayılar dizisinde a asal olmayıp, diğer terimlerin her biri bir
20 0 1 n 0
önceki terimin pozitif bölenlerinin sayısına eşittir. Bu dizinin hiçbir teriminin tam kare
olmamasını sağlayan kaç tane a vardır?
0 5. Bölüm
(UİMO-1999)

A) 0 B) 1 C) 2 D) Sonsuz sayda E) Hiçbiri

Çözüm Dizinin ilk terimi a asal olmadığına göre, bu terimin pozitif bölen sayısı hesaplanarak ikinci terim
0
bulunacağı için bu terim a (ya da bahsini ettiğim durum daha ileride karşılaşacağın iki terim için)
1
asal olabilir. Zaten dizi, terimleri gittikçe azalan ve bir terimden itibaren (terim asal ise pozitif bölen
sayısı 2 dir) sonraki tüm terimleri 2 olan bir dizidir. Dizinin bir terimi asal olduğunda bu asal sayı
tek olduğu için önceki terim çift kuvvete sahip olur. Çünkü hatırlayacağın üzere PTBS (pozitif tam
bölen sayısı) bir sayının asal çarpanlarının üslerinin, birer fazlası alınarak çarpımı ile elde ediliyor.
Çarpma işleminin sonucu tek ise üsler çifttir. Buna göre dizinin herhangi bir andaki terimi asal ise
(ki her bir a için ilerleyen adımlarda dizinin bir terimi asal olacaktır) bir önceki terim tam kare olur.
0
Sonuç olarak dizinin hiçbir teriminin tam kare olmamasını sağlayan 0 tane a vardır.
0 DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi (Çoğu Gitti Azı Kaldı)
Cevap: A

Örnek
2
21 Genel terimi a = n - 14n + 41 olan dizinin en küçük terimi kaçtır?
n

2
Genel terimi n - 14n + 49 - 8 = (n - 7) - 8 biçiminde düzenlediğimizde görüleceği gibi n = 7 için
2
Çözüm
2
en küçük değer elde edilir. Diğer n sayıları için (n - 7) ifadesi pozitif olduğu için dizinin en küçük
değeri 7. terimi olur. Buna göre dizinin en küçük terimi -8 dir.

Şimdi, sana bulmaca çözüyormuş hissi verecek bir kaç örnek
geliyor hazır mısın?

Örnek
22 Bir (a ) dizisinde a = 5 ve n > 1 için a = 3n + a olduğuna göre a kaçtır?
1
5
n
n
n-1

Gezintimizin bu bölümünün başlarında gördüğün Örnek 4 benzeri bir işlem ile istenene ulaşacak-
Çözüm
sın. Şöyle ki;
n = 2 için, a = 3 . 2 + a den a = 6 + a ve a = 11 olur.
2 2-1 2 1 2
n = 3 için, a = 3 . 3 + a den a = 9 + a ve a = 20 olur.
3 3-1 3 2 3
n = 4 için, a = 3 . 4 + a den a = 12 + a ve a = 32 olur.
4 4-1 4 2 4
n = 5 için, a = 3 . 5 + a den a = 15 + a ve a = 47 olur.
5 5-1 5 4 5
ALTIN NOKTA 143