Page 169 - og_2_olimpiyat

ii. Çarpım Sembolü ( Π )

Toplam sembolünü ve nasıl kullanıldığını keşfetti isen seyahatin bu bölümünde işimiz kolay. Burada
yapacaklarını (az farkla) toplam sembolü için yaptıklarına benzetebilirsin. E başlayalım o halde!
8 . 15 . 24 . 35 . 48 . . . . . n(n + 2) . . . . . 440 çarpımının kaça eşit olduğunu değil de önce bu çarpımı 6. Bölüm
ifade eden gösterimi keşfedeceğiz. Bu değerleri bulduran ifadede (bu ifade n(n + 2) olarak verilmiş)
c
n yerine 3, 4, 5, 6, . . . , 20 yazıldığında elde edilen sayıların çarpımı ∏ n(n + 2) biçiminde gösterilir.
=
c kb
Tersinden tekrar edecek olursam; ∏ n(n + 2) gösterimi ile; n(n + 2) ifadesinde n yerine 3 ten başlaya-
=
kb
rak 20 ye kadar ardışık tam sayıların yazılmasıyla elde edilen değerlerin çarpımı anlatılır.
Şimdi bu gösterimi genelleştirelim.

b, c birer tam sayı ve b ≤ c olmak üzere üst sınır
c
∏ a
a , a , a , a , . . . , a değerlerinin çarpımı k biçiminde gösterilir. Burada 'k' indis ya da
b b+1 b+2 b+3 c kb
=
alt sınır
değişken, 'b' alt sınır ve 'c' üst sınır olarak okunur. Sonuç olarak, k değişkenli a ifadesinde k = b alt
k
sınırından k = c üst sınırına kadar (b ve c dahil) ardışık tam sayılar için elde edilen değerler çarpımı
c c
∏ a ile gösterilir. a . a . a . a . . . . . a = ∏ a dır.
k b b+1 b+2 b+3 c k
kb kb Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
=
=
Örnek
20 Aşağıda verilen eşitlikleri inceleyiniz.
25
29
• ∏ k = 1 2 3 4 25 = ∏ k − 4
... ....
k=1 k + 2 3 4 5 6 27 k=5 k − 2
80 74
• ∏ k − 33 = − −26 . −25 . −24 . −23 .... 47 = ∏ k − 27
k=7 k + 33 40 41 42 43 113 k =1 k + 39
99
• ∏ k = 1234.....99 99 !
=
...
k = 1
20
20
• ∏ 7 =k 777 7 1234 7 .. ∏ k = 7 20 .20 !
20
.. .... .... ....20 =

k=1 20 tane k=1
Örnek 2 2
n ∏
2
21 x + 2x - 7 = 0 denkleminin kökleri x ve x dir. Buna göre, ∑ 3.x − x işleminin
k
2
1
sonucu kaçtır? n= 1 k= 1
Çözüm Toplam sembolünün kullanımına benzer biçimde çarpım sembolünü kullanacağımızı keşfettin.
İşte başladın bile; toplam sembolünde n yerine 1 ve 2 değerlerini yazarak elde edeceklerimizi
toplarken çarpım sembolünde k yerine 1 ve 2 değerlerini yazarak elde edeceklerimizi çarpacağız.
2
n ∏
Buna göre, ∑ 3.x − 2 x =3 . x + 3 .x - x . x olur. Burada denklemin kökler toplamı ve kökler
k
1
2
1
2
n= 1 k= 1
çarpımına ihtiyacımız var. Sağ olsun x + 2x - 7 = 0 denkleminden (x + x = - 2 ve x . x = - -7 ) kök-
2
1 2 1 2
1 1
2 2
n ∏
ler toplamı x + x = - 2 ve kökler çarpımı x . x = -7 olarak kolayca bulunabildiği için ∑ 3.x − x =
1 2 1 2 k
işleminin sonucu (3 . (x + x ) - x . x = 3 . (-2) - (-7) den ) -6 + 7 = 1 dir. n= 1 k= 1
1 2 1 2
ALTIN NOKTA 169