Page 170 - og_2_olimpiyat

Örnek 9
22 ∏ 5 k− 3 ifadesinin değeri kaçtır?
k= 0

5 İfadesinde k yerine 0, 1, 2, 3, 4 , . . . , 9 yazıldığında elde edilen sayıların çarpımını bulma-
k-3
Çözüm 9
mız isteniyor. ∏ 5 k− 3 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . . . . 5 olup aynı tabanlı üslü sayıların çarpımında üsler
-2
-3
0
1
6
-1
k= 0 9 9
6. Bölüm
toplandığı için 5 -3-2-1+0+1+...+6 den ∏ 5 k− 3 = 5 4 + 5 + 6 olur. Buna göre ∏ 5 k− 3 ifadesinin değeri 5 tir.
15
k= 0 k= 0
Örnek n n
23 ∏ 4 fk() = 64 olduğuna göre, ∑ fk() ifadesi kaça eşittir?
k= 1 k=1
f(k)
Çözüm Bir önceki örneğe benzer biçimde; 4 ifadesinde k yerine yazılacak değerler için elde edilenler
çarpımı 64 sayısına eşit verilmiş.
n
Bu durumda ∏ 4 fk() = 4 . 4 . 4 . . . 4 dir. Aynı tabanlı üslü sayıların çarpımı olması nedeniy-
f(1)
f(3)
f(n)
f(2)
k= 1
n n
le, ∏ 4 fk() = 4 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n) olur. 4 ün üssü olan f(1) + f(2) + f(3) + . . .+f(n) toplamı ∑ fk() biçimin-
n
k= 1 ∑ fk() n ∑ n fk() k=1
de yazılır. Buna göre 4 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n) = 4 k= 1 olduğundan ∏ 4 fk() = 64 = 4 k= 1 dir. Sonuç olarak
∑ n fk() n k= 1
3
3
(64 = 4 olduğu için) 4 k= 1 = 4 ten ∑ fk() = 3 tür.
k=1
Örnek n k + 3
24 ∏ = 10 olduğuna göre, n doğal sayısı kaçtır?
k=5 k +1
Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
n k + 3 8 9 10 11 12 n + 2 n + 3
∏ = .. . . .... . olduğu için sadeleştirmeler sonucunda (ilk iki kesrin payda-
Çözüm k=5 k + 1 6 7 8 9 10 n n + 1
sı ile son iki kesrin payı geriye kalacağından) 1 . 1 . n + 2 . n + 3 nın çarpımı ile elde edilen
6 7 1 1
(n + 2) . (n + 3) = 10 eşitliğinden (n + 2) . (n + 3) = 3 . 7 . 2 .10 bulunur.
6 . 7
Buna göre (n + 2) . (n + 3) = 20 . 21 eşitliğinden n + 2 = 20 ve n = 18 dir.

Örnek 2019  1 
25 ∏  1− 2  çarpımının sonucu kaçtır?
k = 2  k 

2  ∏
∏
1
2
.
1 - ifadesi k - 1 = k - 1 k + 1 olduğundan verilen çarpımı; 2019   1− 1  = 2019  k − 1 k + 1 
.

Çözüm k k k k 2  k  2  k k 
2
2
k = k =
olarak düzenleyebilirsin. Bu durumda çarpımları ayrı ayrı düşünüp
2019 k −1 2019 k +1 1 2 3 4 2017 2018 3 4 5 6 2019 2020
∏ . ∏ = . .. .... . . .. .. .... . işleminden
k=2 k k=2 k 2 3 4 5 2018 2019 2 3 4 5 2018 2019
2019 k −1 2019 k +1 1 2020 2019  1  1010
∏ . ∏ = . olur. Sonuç olarak ∏  1− 2  çarpımının sonucu dur.
k=2 k k=2 k 2019 2 k = 2  k  2019
170 ALTIN NOKTA