Page 171 - og_2_olimpiyat

Örnek 33 2
−
26 ∏ (k − 2 k 63 ) işleminin sonucu kaçtır?
=
k 1 6. Bölüm

2
Çözüm k - 2k - 63 = (k + 7)(k - 9) biçiminde çarpanlarına ayrıldığı için ifade içerisinde k yerine 9 ya-
33
zıldığında elde edilen sayı sıfır olur. Buna göre, ∏ (k − 2 k 63 ) işleminin çarpanlarından biri 0
−
2
=
k 1
olduğundan işlemin sonucu 0 dır.
Örnek 4 3 n
k
27 ∏ ∏ (2 . ) işleminin sonucu kaçtır?
k= 1 n= 1

Çözüm Bu işlemi nasıl yorumlayacağımızı anlamış olmalısın. Yine de tekrar etmem gerekirse; daha önce Toplam ve Çarpım Sembolleri (Bu işin sırrı nedir?)
toplam sembolünden gördüğümüz örnekten hatırlayabileceğimiz gibi iki değişken için ayrı ayrı
değerleri (n yerine 1, 2 ve 3 ile k yerine 1, 2, 3 ve 4) yazıp elde ettiğimiz sayıları çarpmamız gere-

3 3
kir. İlk olarak n değişkeni için ∏ (2 n . ) = 2 .k.2 .k.2 .k eşitliğinden ∏ (2 n . ) = 2 .k olur. Bu
k
k
1 2 3
6 3
n= 1 n= 1
4 3 4
durumda ∏ ∏ (2 n . ) işlemi ∏ (2 6 .k 3 ) işlemine eşittir.
k
k= 1 n= 1 k= 1
4 4
Buna göre, ∏ (2 6 .k 3 ) = 2 . 1 . 2 . 2 . 2 . 3 . 2 .4 olduğu için ∏ (2 6 .k 3 ) = (2 ) . 3 . 2 . 4 elde
3
3
6
3
3
6
3
6
6
6 4
3
3
k= 1 k= 1
edilir. Üslü sayılar ile ilgili işlemler sonucunda ((2 ) . 3 . 2 . 4 = 2 . 27 . 8 den devam ederek)
6 4
3
3
24
3
3
4 3
∏ ∏ (2 n . ) işleminin sonucu 27 . 2 bulunur.
33
k
k= 1 n= 1
Örnek 2 5
n
28 ∏ ∏ (10 . ) çarpımının sonucu kaç basamaklı bir doğal sayıdır?
k= 0 n= 1
5
n
Çözüm İşlemin ilk aşaması olarak bulacağın ( ∏ (10 . ) = 10.1 . 10.2 . 10.3 . 10.4 . 10.5 olduğu için)
n= 1
5 2 5 2
∏ (10 . ) = 10 .5! eşitliği ikinci aşamada yazarak ∏ ∏ (10 . ) = ∏ (10 5 .!) olur. Buna göre, k
5
5
n
n
n= 1 k= 0 n= 1 k= 0
yerine yazılması gereken her bir değer için (0, 1 ve 2) 10 .5! elde edileceğinden çarpım
5
2
∏ (10 5 . !) = (105 3 5 3 15 3
. !) olur. Sonuç olarak (10 .120) = 10 .1728 . 10 işleminden hareketle
5
5
k=− 0
2 5 2
∏ ∏ (10 . ) =1728 . 10 çarpımının sonucu 22 basamaklı bir doğal sayıdır.
∏
18
5
(10
n
5
.!)
k= 0 n= 1 k= 0
ALTIN NOKTA 171