Page 137 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.7 Menelaus Teoremi ( M.Ö.140 - M.Ö.70 ) ve Karşıtı

ABC üçgeninde BC, AC ve AB Menelaus Teoremi:
doğruları üzerinde sırasıyla
C C
D, E ve F noktaları alınıyor. İspat: d X
Y Y
D, E, F noktaları doğrusal ise; E E
D D m
F n
B A F B A
1- B ve A noktalarının d doğrusuna uzaklıkları n ve m olmak üzere, d doğrusu üzerinde X ve Y nok-
taları düşünülürse,

Menelaus Teoremi'nin Karşıtı:
ABC üçgeninde BC, AC ve AB C C
doğruları üzerinde İspat:
E E
D D
eşitliğini sağlayan D, E, F nok- F F
taları alınırsa; D, E, F doğrusal T B A T B A
olur.
1- ED yi uzatalım, AB doğrusunu T noktasında kessin. Şu halde Menelaus teoremi,
olduğunu söyler.

2- Bize verilen eşitliğe (**) diyelim, yani

Ceva teoremi kenar sayısı
tek olan her şekle uyar.
Mesela bir ABCDE beşge- Uyarı: Buradaki (-) işareti yönle ilgilidir, bazen önemlilik arzeder. Görüldüğü üzere,
ninde A, B, C, D ve E köşe- FDE kenarlardan birini dıştan kesmiştir. Yani;
lerine ait doğrular karşı
kenarları A’, B’, C’, D’ ve E’
noktalarında kestiğinde
şöyle olur:
Soru (1996 TÜRKİYE):
Bir XOY açısının OX kenarı üzerinde IOAI=3, IODI=5 olacak biçimde alınan A ve D
noktaları, OY kenarı üzerinde de IOCI=4 ve IOBI>4 olacak biçimde alınan C ve B
noktaları için, [AB] ∩ [DC] = {E} ve IAEI.IOBI=3IEBI ise IOBI kaçtır?
Çözüm:
X X 1- Verilen eşitliği
D D IAEI:IEBI=3:IOBI
2 2 şeklinde yazmak
A A zor değildir. Şimdi
E E
3 3 AOB üçgenine
[DC] kesenine
göre Menelaus
O Y O Y teoremi uygulaya-
4 C B 4 C B
lım.

136