Page 139 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1969 KANADA):
Çevresi p olan eşkenar üçgenin içerisinde alınan bir noktanın, kenarlara olan dik uzak-
lıkları toplamı s ise; sò12=p olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- ''Eşkenar üçgenin içerisinde alınan bir noktanın, kenarlara olan dik uzaklıkları toplamı, eşke-
narın yüksekliğine eşittir.'' önermesini daha önce (1.bölümde) göstermiştik.

Soru:
Bir üçgende yükseklikler bir noktada kesişir. Bu ifadeyi, Ceva teoreminden fayda-
lanarak kanıtlayınız.

Çözüm:
A A 1- ABC üçgeninin; kenar uzunlukları
a, b, c ve açıları A, B, C olsun.
c.cosA
b.cosA [AD], [BE], [CF] dikmeleri çizilince;
IBDI=ccosB, IDCI=bcosC,
E
F F E ICEI=acosC, IEAI=ccosA,
acosC IAFI=bcosA, IFBI=acosB olur.
a.cosB
H 2- IBDI.ICEI.IAFI=IDCI.IEAI.IFBI oldu-
ğuna göre, Ceva teoreminin karşı-
B c.cosB D b.cosC C B D C tıyla, AD ∩ BE ∩ CF ={H} olmalıdır.

Soru:
ABCDEF ve ABPQRS düzgün altıgenlerinin kenar uzunlukları 1 br ise, A(FDPR) nedir?

Çözüm:
S F S F
Y Y
R A E R E
A
X
Z Z
X B
Q B D Q D
Y Y
P C P C

1- Eş şekillerin alanları eşittir. Dolayısıyla A(FDPR)=A(ABCDEF)+A(ABPQRS)-2A(PQR) dir.

138